Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh Toán 12 THPT Phú Thọ 2025-2026

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2=5,u_5=14$. Số hàng thứ 10 của cấp số cộng đã cho bằng

Kĩ sư Bình làm việc cho Nhà máy Z với mức lương khởi điểm là 10 triệu đồng/tháng. Sau mỗi năm, tiền lương hàng tháng tăng thêm 8\% so với năm trước đó. Tổng tiền lương của kĩ sư Bình sau đúng 5 năm làm việc (làm tròn đến hàng nghìn đồng) là

Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?

Số giờ có ánh sáng Mặt Trời ở một thành phố $X$ trong ngày thứ $n$ của một năm không nhuận được xấp xỉ bởi hàm số $t(n)=2\sin \left[\frac{\pi (n-80)}{182}\right]+11$ $(n\in \mathbb{N}$ và $1\le n\le 365)$. Hỏi vào ngày thứ bao nhiêu trong năm, thành phố $X$ có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Hàm số $y=\ln \left(4x-x^2\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Phương trình $4^{1-2x}=8^{-2x}$ có nghiệm là

Chiều cao của một loại cây sau khi trồng được $n$ tuần được xấp xỉ bởi hàm số $h(n)=20{\log }_3(5n+1)+51$ (centimet). Sau ít nhất bao nhiêu tuần, chiều cao của cây đó lớn hơn 1,3 mét?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên tập số thực là hàm số $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2(x-5{)}^3$. Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên tập số thực là $f^{\prime }(x)$. Biết đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ như hình vẽ.



Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên tập số thực là hàm số $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2(x+3{)}^3(x-4{)}^5$. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Cho hàm số $y=5^{\frac{3x-2}{x+1}}$ có đồ thị $(C)$. Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị $(C)$ là

Cho hàm số bậc ba $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ.



Khẳng định nào dưới đây đúng?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị lớn nhất trên đoạn $[-2;1]$ của hàm số $y=\left|x^3-3x^2+m-2\right|$ nhỏ hơn 20?

Cho hàm số $f(x)=e^{6x}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số $f(x)=x^2$ có một nguyên hàm trên tập số thực là hàm số $F(x)$. Biết $F(-1)=0$, khẳng định nào dưới đây đúng?

Biết các hàm số $F_1(x)$ và $F_2(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x$ trên tập số thực, đồng thời $F_1(0)-F_2(0)=5$, $F_2(\pi )=3$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Một nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^5+5^x$ trên tập số thực là

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x-2}$ có một nguyên hàm trên $(-\infty ;2)$ là hàm số $F(x)$. Biết $F(0)=\ln 2$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Tại một triển lãm, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự trong một ngày được biểu diễn bởi hàm số $N^{\prime }(t)=4t^3-30t^2+500t$, trong đó $t$ tính bằng giờ kể từ khi mở cửa $(0\le t\le 10)$, $N^{\prime }(t)$ tính bằng số khách/giờ. Biết giờ mở cửa là lúc 8 giờ sáng và sau khi mở cửa 1 giờ thì có 300 khách tham dự triển lãm, hỏi lúc 12 giờ trưa có bao nhiêu khách tham dự triển lãm?

Cho lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng 3, cạnh bên bằng 4. Khoảng cách từ $A^{\prime }$ đến mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Góc giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }D$ bằng

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng 3, chiều cao bằng 4. Thể tích hình chóp đã cho bằng

Cho tứ diện đều $ABCD$ có $M$ là trung điểm $CD$. Cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=3,AD=4,A{A}^{\prime }=5$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho $\vec{u}(-2;3;1)$, $\vec{v}(1;1;-2)$. Giá trị $\left|\vec{u}-2\vec{v}\right|$ bằng

Trên một vùng biển có gắn hệ tọa độ $Oxyz$, mặt biển là mặt phẳng $Oxy$. Một chiếc tàu ngầm đang ở vị trí $A(12;83;-2)$ phóng một quả tên lửa để tiêu diệt một mục tiêu trên không ở vị trí $B(3;-7;16)$. Biết đường bay của tên lửa là một đường thẳng, xuyên qua mặt biển tại điểm $M(a;b;c)$. Tổng $a+b+c$ bằng

Thống kê cân nặng của 100 con gà sau bốn tháng nuôi theo tiêu chuẩn VietGap ta được mẫu số liệu sau.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng

Thống kê tiền thưởng cho công nhân của 50 công ty trên địa bàn tỉnh Phú Thọ, ta thu được mẫu số liệu sau.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên xấp xỉ giá trị nào sau đây?

Thống kê điểm kiểm tra giữa kì I môn Toán của lớp $12A$ ta thu được mẫu số liệu sau.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Ba vận động viên bóng rổ thi ném bóng. Xác suất để vận động viên thứ nhất, thứ hai và thứ ba ném bóng trúng rổ lần lượt là $0,8$; $x$; $y$. Biết rằng, xác suất để ít nhất một trong ba vận động viên ném bóng trúng rop là $0,992$ và xác suất để cả ba vận động viên ném bóng trúng rổ là $0,432$. Xác suất để có đúng hai vận động viên ném trúng rổ bằng

Một cặp vợ chồng dự định sinh ba người con. Giả sử xác suất sinh con trai ở mỗi lần sinh là $50\%$, xác suất để họ sinh được một con trai và hai con gái bằng

Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2-3x}{x+1}$ có đồ thị là $(C)$.

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất chip bán dẫn cho nhà máy $B$. Nhà máy $B$ mua không quá 1500 sản phẩm từ nhà máy $A$. Nếu nhà máy $B$ mua $x$ sản phẩm thì giá bán mỗi sản phẩm là $P(x)=40-0,00001x^2(USD)$. Chi phí nhà máy $A$ sản xuất mỗi sản phẩm khi đó là $C(x)=\frac{10000}{x}+10(USD)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên các trục là centimet, một chiếc máy quay phim có trọng lực $210N$ được đặt cân bằng tại đỉnh $S(0;0;120)$ của một chiếc giá đỡ ba chân, có dạng hình chóp đều $S.ABC$ (tham khảo hình vẽ). Biết tọa độ điểm $A(0;30;0)$.

Trong một khu phố mới có 36 gia đình, gia đình nào cũng chỉ gồm hai thế hệ là bố mẹ và con cái. Có 5 gia đình có một người con, 4 gia đình có ba người con, các gia đình còn lại đều có hai người con. Các gia đình có ba con thì có cả con trai và con gái; Trong số các gia đình có hai con thì có 7 gia đình sinh con một bề (hai con trai hoặc hai con gái).

Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của ${}_6^{14}C$ là 5730 năm, tức là sau 5730 năm thì số nguyên tử ${}_6^{14}C$ giảm đi một nửa. Một cây còn sống có lượng ${}_6^{14}C$ trong cây được duy trì không đổi, nhưng nếu cây chết thì lượng ${}_6^{14}C$ trong cây phân rã theo chu kì bán rã của nó. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một mẫu gỗ cổ và đo được tỉ lệ phần trăm lượng ${}_6^{14}C$ còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc cây còn sống là 75\%. Hỏi mẫu gỗ cổ đó đã chết cách đây bao nhiêu năm (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho hàm số $y={\left(x^3-3x-m+1\right)}^2$. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;1]$ bằng 4.

Trước sự phát triển của ngành vật liệu bán dẫn, anh Khoa mở nhà máy sản xuất vi mạch với thiết kế của vi mạch có dạng hình chữ nhật có kích thước $a(\mathrm{pm})\times b(\mathrm{pm})$ với $1\mathrm{pm}=10^{-12}\mathrm{m}$. Biết rằng, chi phí để sản xuất vi mạch bao gồm 50 (triệu đồng) chi phí cho nguyên vật liệu ban đầu, 15 (triệu đồng) /1pm chi phí gia công lắp mảng Silic xung quanh thành vi mạch (xem như độ dày khi gia công là không đáng kể) và 32 (triệu đồng)/ $1{\mathrm{pm}}^2$ tiền gia công phủ chất làm mát bao quanh cả 2 bề mặt vi mạch (xem như cả bề mặt là hình chữ nhật có kích thước như trên). Nếu đơn giá bán ra mỗi chiếc vi mạch là 428 (triệu đồng $/{\mathrm{pm}}^2$ ) và cả 2 kích thước thành phần của vi mạch giảm đi 15 pm thì lợi nhuận thu được mỗi chiếc bằng chi phí sản xuất của mỗi chiếc vi mạch đó. Khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất thì chu vi của vi mạch là bao nhiêu pm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2+2x+m& \text{khi }x\ge 1\\ 5-2x& \text{khi }x<1\end{array}$ ($m$ là tham số thực) liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng, hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(-2)=-10$. Tính $F(3)$.

Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân với cạnh huyền $AB$ bằng $\sqrt{2}$. Mặt phẳng $\left(A{A}_{1}B\right)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $A{A}_1=\sqrt{3}$, góc $A_{1}AB$ nhọn và mặt phẳng $\left(A_{1}AC\right)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc $60^{\circ }$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian $Oxyz$, tỉ lệ dài trên các trục là 10km tính cho một đơn vị tỉ lệ trên mỗi trục, cho bốn vệ tinh có tọa độ lần lượt là $A(-1;2;-1),B(1;4;0),C(3;0;9),D(7;10;-1)$ đang tiến hành theo dõi vật thể $M$ (coi là một chất điểm). Các vệ tinh dùng sóng điện từ có tần số 1MHz. Ở một thời điểm cả 4 vệ tinh bắn tín hiệu về $M$ thì sau nhận được tín hiệu trả về ngay sau đó trong những khoảng thời gian là $t_A=0,4ms,t_B=0,2ms,t_c=\frac{2}{3}ms,t_D=0,4ms$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $O$ (Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c=3.10^{8}m/s$ và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

1) Cho hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $A,B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Biết rằng $A,B$ cùng với điểm $C(5;5)$ tạo thành một tam giác. Tính diện tích tam giác $ABC$.
2) Một mô hình đồ chơi được thiết kế gồm hai xe chạy trên các đường ray trong đó có hai đường ray là hai nhánh $(C)$ của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$. Người ta thiết kế một đường đi ngắn nhất nối giữa hai nhánh đường ray của $(C)$ để xe có thể di chuyển từ nhánh này sang nhánh kia của đường chạy. Tính độ dài đoạn đường nối ngắn nhất đó.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi nhưng không là hình vuông. Biết rằng $AB=SA=SB=SD=a$ và thể tích khối chóp đã cho bằng $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.
1) Chứng minh rằng $(SBC)\perp (SCD)$.
2) Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BD$.

Bạn An chọn ngẫu nhiên 3 số phân biệt trong tập hợp $\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$ và sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số có ba chữ số. Bạn Bình chọn 3 số phân biệt trong tập hợp $\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$ và sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số có ba chữ số. Tính xác suất để số của bạn An chọn lớn hơn số của bạn Bình chọn.