Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Trường - THPT Thạch Thất - Sở GD&ĐT Hà Nội - 2025-2026 - Toán 11

a) Giải phương trình sau: $\cos 2x+2\cos x-2\cos \left(\frac{2025\pi }{2}-x\right)=0$.
b) Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC=a$, $AB=c$ thỏa mãn $\sqrt{(2a-c){\cos }^2\frac{B}{2}}=\sqrt{(2a+c){\sin }^2\frac{B}{2}}$ với $2a>c$. Chứng minh tam giác $ABC$ cân.

a) Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=1$, công sai $d=\frac{1}{2025}$. Tính giá trị của biểu thức
$$S=\frac{1}{u_1\sqrt{u_2}+u_2\sqrt{u_1}}+\frac{1}{u_2\sqrt{u_3}+u_3\sqrt{u_2}}+\dots +\frac{1}{u_{2025}\sqrt{u_{2026}}+u_{2026}\sqrt{u_{2025}}}$$
b) Tính giới hạn sau: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{6x-3}-\sqrt{20x-15}+x}{x^2-4x+4}$

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2025\\ n.(u_{n+1}-u_n)=u_n+1,n\ge 1,n\in N\end{array}$$
a) Tìm số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số $(u_n)$.
b) Tính $\lim \left(\frac{u_n}{2025n}\right)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AD$. Gọi $M$ là điểm di động bên trong hình thang $ABCD$. Qua $M$ vẽ các đường thẳng song song với $SA$, $SB$ và lần lượt cắt các mặt phẳng $(SBC)$, $(SAD)$ theo thứ tự tại $N$ và $P$. Gọi $Q$ là điểm thay đổi thuộc đoạn $MN$.
a) Chứng minh rằng $MQ$ song song với mặt phẳng $(SAB)$.
b) Tính $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}$.