Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 12 Môn Toán THPT Dĩ An 2025-2026

1. Một buổi chiều nào, bên bếp lửa hồng trong gian nhà ấm áp, người ta nhìn thấy ba mẹ con cùng ngồi ăn đậu phộng rang. Tấm ăn trước, cô bóc 1 hạt đậu và bỏ vào miệng; Cám là người bóc đậu tiếp theo, cô bỏ hai hạt đậu vào miệng; dì ghẻ là người bóc đậu tiếp theo liền bỏ 3 hạt vào miệng. Trở lại lượt của Tấm, cô lấy 4 hạt đậu, rồi Cám lấy 5 hạt đậu, dì ghẻ lấy 6 hạt đậu... Bữa ăn hào hứng như thế cho đến lượt cuối cùng thì số hạt đậu không đủ theo quy luật trò chơi, người nào đến lượt cuối sẽ lấy hết số hạt đậu còn lại. Sau bữa ăn ấm áp ấy, Tấm nhận ra mình đã cho vào bụng khoảng 317 hạt đậu. Hỏi tổng số đậu mà ba mẹ con đã ăn trong tối đó là bao nhiêu?

2. Tính số đo ba góc tam giác $ABC$ biết $9+4\left(\sqrt{2}\cos B-\sqrt{3}\cos C\right)=4\cos A\cos (B-C)$.

1. Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm trên $(C)$ các điểm $M$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ của $(C)$ tạo với hai đường tiệm cận của $(C)$ một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.

2. Cho nửa hình cầu bán kính $r$ không đổi. Một hình nón có chiều cao $h$, bán kính đáy là $r_1$. Hãy xác định $h$ và $r_1$ để diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất biết rằng mặt ngoài của hình nón tiếp xúc của mặt cầu và 2 đường tròn đáy đồng tâm và cùng thuộc 1 mặt phẳng.

1. Một hộp trang trí dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 40 cm. Trong hộp có một quả cầu pha lê lớn được đặt vừa khít vào hộp sao cho quả cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp. Từ vị trí tâm $O$ của đáy hình chóp, có một sợi dây dùng để treo một quả cầu nhỏ, bên trong quả cầu đó chứa những lời chúc tốt đẹp. Hộp quà được treo cân bằng trong căn phòng sao cho đỉnh hình chóp ở vị trí cao nhất và đáy hình chóp song song với mặt đất. Khi đó tâm của quả cầu pha lê và quả cầu nhỏ đối xứng nhau qua $O$ và đồng thời tâm quả cầu nhỏ cách đều tất cả các cạnh hình chóp. Người ta đổ epoxy resin (một loại keo tổng hợp trong suốt dùng trong thủ công mỹ nghệ) vào đáy hộp để trang trí. Tính thể tích phần keo cần đổ, theo đơn vị lít.



2. Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà có dạng hình chóp cụt cong tam giác đều. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình tam giác đều (xem hình vẽ). Mặt đáy tòa nhà là hình tam giác đều có cạnh $L_b=30$ m, mặt đỉnh là hình tam giác đều có cạnh $L_t=21$ m. Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà là hình tam giác có cạnh $L_{\min }=18$ m. Tòa nhà cao 30 m và các cạnh bên $c_1,c_2,c_3$ của tòa nhà nằm trên các đường parabol có trục đối xứng là trục của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).

1. Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=\frac{3}{2}AD$, $\widehat{CAB}=\widehat{DAB}=60^{\circ }$, $CD=AD$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)$.

2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(3;1;0)$, $B(0;1;1)$. Đặt $P=\left|3\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{BM}\right|$, trong đó $M(a;b;c)$ là một điểm chạy trên mặt phẳng $(Oxz)$. Tính $a+b+c$ khi $P$ đạt giá trị nhỏ nhất?

1. Ba cầu thủ đá phạt đền 11m, mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là $x,y$ và $0,6$ (với $x>y$). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là $0,976$ và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là $0,336$. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.

2. Một gia đình ba thế hệ có 26 thành viên, trong đó có 16 người trưởng thành và 10 em bé. Mỗi em bé nuôi một con heo đất. Nhân dịp lễ 2/9, cả gia đình nhận được 2 600 000 đồng từ Chính phủ gồm 4 tờ tiền mệnh giá 500 000 đồng và 6 tờ tiền mệnh giá 100 000 đồng. Giả sử các tờ tiền cùng mệnh giá là giống nhau. Để lưu giữ kỉ niệm, gia đình quyết định lấy 10 tờ tiền vừa nhận được bỏ vào các con heo đất của những em bé. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ các tờ tiền trên vào các con heo đất biết có đúng 2 con heo đất không nhận được bất kì tờ tiền nào?