Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 12 Toán 2025-2026

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2=6,u_3=18$. Số hàng thứ 7 của cấp số nhân đã cho bằng

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=-2\sin x+3$ bằng

Bất phương trình ${\log }_2(x+1)<3$ có tập nghiệm là

Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của 72 học sinh lớp 12A1 và 12A2 được cho trong bảng sau

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu phút?

Cho hàm số $y=f(x)$, với $f(x)$ là đa thức bậc bốn. Biết đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm

Bảng dưới đây thống kê số giờ tự học ở nhà của 40 học sinh lớp 12 được hỏi ngẫu nhiên tại một trường THPT X của tỉnh Phú Thọ

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Khi đó $\overrightarrow{AG}$ bằng

Mỗi ngày bác An đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường (km) đi bộ mỗi ngày của bác An trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng

Cho hàm số $y=\ln \frac{x+1}{x^2+1}$ có đồ thị $(C)$. Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị $(C)$ là

Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức $f(t)=A.2^{rt}$, trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $r$ là hằng số dương, $t(t\ge 0)$ là thời gian tăng trưởng tính theo giờ. Biết số vi khuẩn ban đầu là 70 con và sau 4 giờ là 280 con. Sau bao nhiêu giờ thì số lượng vi khuẩn đạt đúng 143360 con?

Cho $F(x)=m{e}^{2x}+n{x}^2+p(m,n,p\in \mathbb{Q})$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{2x}+2x$ thỏa mãn $F(0)=\frac{5}{2}$. Giá trị của biểu thức $T=4m+n-p$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)=x^4-4x^3$. Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài cạnh bằng 1. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ bằng

Hàm số $F(x)=(ax+b)\sqrt{4x+1}(a,b\in \mathbb{R})$ là một nguyên hàm của $f(x)=\frac{36x}{\sqrt{4x+1}}$. Giá trị của biểu thức $a+2b$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên tập số thực là hàm số $f^{\prime }(x)=x^2(x+1{)}^3(x^2-3x)$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Trong một công viên người ta xếp một số chậu hoa thành các hàng để trang trí theo cách như sau: Hàng 1 xếp 30 chậu, hàng 2 xếp 32 chậu, hàng 3 xếp 34 chậu, … (hàng sau nhiều hơn hàng phía trước 2 chậu). Tổng cộng đã sử dụng hết 440 chậu hoa. Số hàng xếp được là

Hàm số $y=e^x(x^2-3)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;1;2),B(-1;0;1)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng. Độ dài $AM$ bằng

Cho $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)={\sin }^{2}x$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$. Giá trị $F\left(\frac{\pi }{4}\right)$ bằng

Chiều cao $h$ tính theo đơn vị mét của một cabin trên vòng quay vào thời điểm $t(t\ge 0)$ giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $h(t)=30-20\sin \left(\frac{\pi }{24}t+\frac{\pi }{2}\right)$. Sau khi bắt đầu chuyển động được bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 mét lần thứ hai?

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x-1}$, $f(0)=2025$, $f(2)=2026$. Giá trị của biểu thức $P=f(4)-f(-2)$ bằng

Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+2}{bx+c}$ $(a,b,c\in \mathbb{R})$ có bảng biến thiên như sau:

Trong các số $a,b,c$ có bao nhiêu số âm?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi $M$ là điểm trên đoạn $SD$ sao cho $SM=2MD$. Giá trị lượng giác tang của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(0;+\infty )$ là $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}+4$ và $f(2)=\frac{21}{2}$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(0;+\infty )$ thỏa mãn $F(3)=24+\ln 3$. Giá trị $F(1)$ bằng

Trong không gian cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh đều bằng 2. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $I$ là trung điểm của $B{C}^{\prime }$. Thể tích của tứ diện $GI{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Hai đội X và Y thi đấu bóng chuyền hơi, trận đấu gồm tối đa 5 séc, đội nào thắng trước 3 séc sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất để đội X giành chiến thắng trong một séc là $65\%$. Xác suất đội X giành chiến thắng trong trận đấu là (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho tứ diện $OABC$ có $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=60^{\circ }$, $\widehat{AOC}=90^{\circ }$, $OA=OB=OC=1$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $OA$. Giá trị lượng giác côsin của góc tạo bởi hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{OC}$ bằng

Một cái cây được gieo trồng từ hạt trong chậu 4 năm, sau đó được đánh ra và trồng xuống đất. Chiều cao của cây sau thời gian $t$ $(t\ge 0)$ năm (kể từ lúc gieo từ hạt) được cho bởi hàm số $h(t)$ (đơn vị là mét). Biết rằng tốc độ thay đổi chiều cao của cây giai đoạn trồng trong chậu là $h^{\prime }(t)=0,2t+0,15$ (đơn vị là mét/năm) với $0\le t\le 4$; tốc độ thay đổi chiều cao của cây giai đoạn trồng xuống đất là $h^{\prime }(t)=\frac{11}{t}$ (mét/năm) với $t\ge 4$. Chiều cao của cây sau 6 năm trồng xuống đất là bao nhiêu mét? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)

Số các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x-m^2-2}{x-m}$ xác định và có giá trị lớn nhất trên đoạn $[0;3]$ bằng $-3$ là

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là một tam giác đều cạnh 2. Hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm của $BC$. Cho $SA=2$ và $SA$ hợp với đáy một góc $30^{\circ }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;1;0)$, $B(2;-1;2)$, $C(4;0;-1)$. Điểm $D(x;y;z)$ thỏa mãn $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB,CD$ và $S_{ABCD}=4S_{ABC}$. Giá trị của biểu thức $x+y+z$ bằng

Có hai hộ chứa bi, mỗi hộ chứa hai loại bi màu xanh và màu đỏ, mỗi bi chỉ có một màu. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộ đúng 1 viên bi. Biết tổng số bi trong hai hộ là 20 và xác suất để lấy được 2 viên bi màu đỏ là $\frac{77}{96}$. Xác suất để lấy được 2 viên bi màu xanh là (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một xí nghiệp chế biến cà phê bán trong nước và xuất khẩu ra nước ngoài. Nếu giá sản xuất mỗi kg cà phê là $x$ USD thì sản lượng xí nghiệp sản xuất được là $(2000x-150)$ (kg) và lượng tiêu thụ trong nước là $(4000-500x)$ (kg). Phần cà phê còn dư sẽ được xuất khẩu với giá cố định 10 USD mỗi kg. Biết rằng với mỗi kg cà phê xuất khẩu thì xí nghiệp phải chịu mức thuế là $T$ USD. Giả sử lợi nhuận từ xuất khẩu và thuế thu được của nhà nước luôn giữ tỷ lệ $5:1$.

Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ nhận đường thẳng $x=1$ làm tiệm cận đứng như hình vẽ bên. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[2;4]$ bằng 6.

Người ta quan niệm số 53 là số không đem lại sự may mắn. Một người mua xe ô tô bấm biển chọn ngẫu nhiên một dãy số có năm chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Gọi $A$ là biến cố “Bấm được biển số không có chữ số 5” và $B$ là biến cố “Bấm được biển số không có chữ số 3”.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên các trục là mét và mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (coi mặt đất là bằng phẳng). Một flycam xuất phát từ điểm $A(-30;4;2)$ và chuyển động thẳng đều đến điểm $B(170;104;202)$ với tốc độ 6 m/s. Cùng lúc flycam xuất phát từ điểm $A$, một người đi bộ xuất phát từ điểm $C(-10;-3;0)$ chuyển động thẳng đều đến điểm $D(20;37;0)$ trên mặt đất với tốc độ 1 m/s.

Doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định được mô hình hóa bằng hàm số $f(t)=800\left(t^2+k{e}^{-2t}\right)$, với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, $k\le 0$ là tham số. Đạo hàm $f^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ bán hàng tại thời điểm $t$. Biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 5 năm đầu phát hành sản phẩm. Giá trị nhỏ nhất của $k$ bằng bao nhiêu?

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left|x^5-5x^2+5(m-1)x-2026\right|$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ bằng bao nhiêu?

Chị Vĩnh dự định treo một chậu hoa bằng ba sợi dây không giãn $SA,SB,SC$, với $S.ABC$ là hình chóp đều có $SA=SB=SC=30$ cm và $AB=BC=AC=25$ cm (tham khảo hình vẽ). Biết mỗi sợi dây chỉ chịu được lực căng lớn nhất bằng 25 N (newton), vượt quá mức này thì sợi dây sẽ đứt. Để khi treo sợi dây không bị đứt thì trọng lượng lớn nhất của chậu hoa bằng bao nhiêu newton? (không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)

Để đủ tiền xây nhà, anh Phú vay ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất $0,75\%$/tháng và được ngân hàng giải quyết cho trả góp hàng tháng. Đúng một tháng sau ngày vay ngân hàng anh bắt đầu trả nợ, các lần trả nợ cách nhau đúng một tháng. Trong mỗi lần đó anh trả ngân hàng số tiền 15 triệu đồng, số tiền này được anh duy trì trong các tháng sau đó cho đến khi trả hết nợ (trừ tháng cuối cùng, số tiền trả có thể ít hơn). Ở tháng cuối cùng, để kết thúc khoản nợ, anh Phú cần trả cho ngân hàng số tiền bằng bao nhiêu triệu đồng? (không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)

Cho đồ thị hàm số $f(x)$ trên $[-1;2]$ là parabol và trên đoạn $[2;3]$ là đoạn thẳng như trong hình bên. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ và $F(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ thỏa mãn $F(0)=0$. Giá trị của $F(1)+F(3)$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng 3 và thể tích bằng 18. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Trên các cạnh $SA,CD$ lần lượt lấy các điểm là $M,N$ sao cho $MN$ song song với là $GC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AG$ và $MN$ bằng $\frac{a}{b}$ với $a,b$ nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $P=6a+4b$ bằng bao nhiêu?

1) Gọi $A,B$ là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x^2}{x+1}$ và đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=x+\frac{1}{2}$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

2) Gia đình anh Thọ có mảnh đất, một phía giáp với đường (là một phần của đường thẳng), phần còn lại giáp với hồ nước là đường cong được mô hình hóa bởi một phần của đồ thị hàm số $f(x)=\frac{-x^2+5x-4}{x}$ như hình vẽ bên dưới, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 10 mét. Trong mảnh đất anh Thọ muốn rào một khu vực hình chữ nhật $ABCD$ với hai đỉnh $A,B$ nằm trên đồ thị hàm số $f(x)$ (phần giáp hồ) và cạnh $CD$ nằm trên trục hoành (phần giáp đường). Tính độ dài cạnh $BC$ (theo đơn vị mét) để diện tích hình chữ nhật $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh 4, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và $SCD$ là tam giác vuông cân tại $S$. Gọi $N$ là điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho $BN$ vuông góc với $SA$.
a) Chứng minh rằng $(SAB)\perp (SCD)$.
b) Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.BDN$.

Trong đợt sơ kết học kì I, thầy Hòa có 40 quyển vở giống nhau muốn tặng cho 5 học sinh là thành viên trong đội tuyển Toán sao cho học sinh nào cũng được tặng vở. Tính xác suất để không có học sinh nào nhận được số quyển vở là một số chia hết cho 3.