Đề Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia Toán 2025-2026 - Ngày Thi 25/12/2025 - Đề Số 1

Câu 1 (5 điểm). Với mỗi số nguyên dương $n$, xét đa thức $P_n(x)=x^{3n}-3\cdot 4^{n-1}{x}^n-2^{3n-3}$.
a) Chứng minh $P_n(x)$ có đúng một nghiệm thực dương, kí hiệu là $a_n$.
b) Đặt $b_n=\frac{2-a_n}{n}$ và $c_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$. Chứng minh dãy số ${\left(c_n\right)}_{n=1}^{\infty }$ có giới hạn hữu hạn.

Câu 2 (5 điểm). Để khám phá không gian, các nhà khoa học thường phải quan sát những vật thể xa xôi như sao chổi, tiểu hành tinh và các hiện tượng thiên văn khác. Nhằm mục đích đó, các nhà khoa học thiết kế và phóng các vệ tinh quan sát lên quỹ đạo quanh Trái Đất. Hầu hết các vệ tinh không chuyển động theo vòng tròn hoàn hảo mà có quỹ đạo là một đường elip, với Trái Đất nằm ở một trong hai tiêu điểm của elip. Khi một vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo elip, khoảng cách giữa nó và vật thể cần quan sát liên tục thay đổi. Thông thường, nếu khoảng cách từ vệ tinh đến vật thể cần quan sát là ngắn nhất thì các thiết bị cảm biến trên vệ tinh sẽ nhận được tín hiệu tốt nhất.

Cho một vệ tinh (được xem như là một chất điểm) chuyển động xung quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip. Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đều bằng $6400km$), giả sử vệ tinh chuyển động trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ theo quỹ đạo có phương trình là $x^2+3y^2=17$. Vệ tinh cần quan sát một vật thể (cũng được xem như là một chất điểm) chuyển động trong không gian. Theo các kết quả nghiên cứu, khi vật thể chuyển động đến vị trí $A\left(2;\frac{16}{\sqrt{3}};8\right)$ thì việc quan sát vật thể đó là tốt nhất. Hãy xác định tọa độ điểm $C$ (trên quỹ đạo elip của vệ tinh) trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ nói trên sao cho khoảng cách từ vị trí $C$ đến vị trí $A$ là ngắn nhất.

Câu 3 (5 điểm). Cho $n,a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1<n^2<a<b<n^2+n+3$. Tìm tất cả các ước nguyên dương thuộc khoảng $\left(n^2;n^2+n+3\right)$ của tích $ab$.

Câu 4 (5 điểm). Bạn An chơi trò chơi ghi lên bảng các bộ ba số theo thứ tự từ trái sang phải. Ban đầu trên bảng ghi sẵn bộ ba số $(1,1,1)$. Ở mỗi lượt chơi, An thực hiện một trong hai thao tác sau với bộ ba số $(x,y,z)$ hiện có:
(i) Xóa bộ ba số $(x,y,z)$ và viết lên bảng bộ ba số $(y,z,x+z)$.
(ii) Xóa bộ ba số $(x,y,z)$ và viết lên bảng bộ ba số $(x+z+1,x+y+z+1,x+y+2z+1)$.
a) Chứng minh An cần đúng 4 lượt chơi để có thể viết lên bảng bộ ba số $(a,b,6)$.
b) Tìm số tự nhiên $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một cách chơi để sau $k$ lượt, An có thể viết lên bảng bộ ba số $(c,d,129)$.