Đề Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia Toán 2025-2026 - Ngày Thi Thứ Hai 26/12/2025 - Đề Số 2

Câu 5 (7 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A$ qua $B$, $C$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Trên đường thẳng $AM$ lần lượt lấy các điểm $I$ và $P$ sao cho tam giác $AIE$ cân tại $I$ và tam giác $APF$ cân tại $P$. Gọi $T$ là giao điểm của hai đường thẳng $IE$ và $PF$.
a) Chứng minh $T$ thuộc đường tròn $(O)$.
b) Gọi $D$ là giao điểm của hai đường thẳng $BI$ và $CP$. Gọi $J$ là giao điểm của hai đường thẳng $TD$ và $IP$. Gọi $X$ là giao điểm của hai đường thẳng $OT$ và $BC$. Các đường thẳng $AT$, $AX$ lần lượt cắt $EF$ tại các điểm $L$, $U$. Chứng minh bốn đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $TAJ$, $TIP$, $TEF$ và $TLU$ cùng đi qua một điểm chung thứ hai khác $T$.

Câu 6 (6 điểm).
a) Tìm số nghiệm thực dương phân biệt của đa thức $Q(x)=x^3-5x^2+4x-1$.
b) Giả sử $a$, $b$, $c$, $d$ là các số nguyên sao cho đa thức $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có 3 nghiệm thực dương phân biệt và không có nghiệm hữu tỷ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=|a|+|b|+|c|+|d|$.

Câu 7 (7 điểm). Trong một trò chơi, nhân vật Mario cần di chuyển về phía trước bằng các lần nhảy xa với độ dài mỗi lần là 1 mét hoặc $a$ mét hoặc $b$ mét, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1<a<b$. Cho trước một chặng đường cần di chuyển có độ dài là $m$ mét, với $m$ là một số nguyên dương, Mario luôn sử dụng chiến thuật nhảy về phía trước như sau: trước tiên Mario sẽ thực hiện các lần nhảy với độ dài mỗi lần $b$ mét (với số lần tối đa có thể sao cho chưa vượt quá đích); nếu vẫn chưa tới đích, Mario sẽ thực hiện tiếp các lần nhảy với độ dài mỗi lần $a$ mét (với số lần nhảy tối đa sao cho chưa vượt quá đích), rồi cuối cùng là chuyển sang các lần nhảy với mỗi bước nhảy là 1 mét. Mario sẽ thắng nếu không tồn tại cách di chuyển nào đến đích có số lần nhảy ít hơn so với chiến thuật trên. Trong trường hợp ngược lại, Mario sẽ thua.
a) Hãy chỉ ra rằng với $(a,b)=(6,14)$, tồn tại một số $m$ để Mario thua trong trò chơi này.
b) Tìm số lượng tất cả các cặp $(a,b)$, với $1<a<b\le 100$, để Mario luôn thắng theo chiến thuật trên với mọi số nguyên dương $m$.