Đề Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia Toán 2026-2027 Trường Phổ Thông Năng Khiếu - ĐHQG TP.HCM Ngày 2

Câu 1 (6.0 điểm). Tập hợp $M$ gồm các số thực dương được gọi là tập "co cụm bậc hai" nếu như tỷ số giữa phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất của nó nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng từ 2000 số thực dương có tổng bằng 1, mỗi số đều nhỏ hơn hay bằng $\frac{1}{100}$ luôn có thể chọn ra một tập con "co cụm bậc hai" có 51 phần tử.

Câu 2 (7.0 điểm). Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $AB=AD$ và $\widehat{BAD}>90^{\circ }$. Gọi $G$ là giao điểm khác $O$ của $CO$ với đường tròn $(OBD)$ và $L$ là điểm trên $CA$ sao cho $\widehat{CGL}=90^{\circ }$. Lấy $E,F$ đối xứng với $G$ qua $OB,OD$.

a) Chứng minh $EF,LG,BD$ đồng quy.

b) Gọi $H,K$ là hình chiếu của $L$ lên $CB,CD$; $M,N$ là giao điểm của $HG,KG$ với $CA$. Chứng minh điểm $L$ có cùng phương tích đối với các đường tròn $(GMN)$ và $(OBD)$.

Câu 3 (7.0 điểm). Cho đa thức hệ số nguyên $P(x)$ và số nguyên tố $p$, ta nói $P(x)$ là $p$-tốt nếu mọi số nguyên có thể thu được từ 0 sau hữu hạn các phép thay sau: thay $a$ bởi $P(a)$, hoặc thay $a$ bởi số nguyên $b$ (nếu tồn tại) sao cho $P(b)\equiv a(\mathrm{mod}p)$.

a) Hỏi có bao nhiêu đa thức 3-tốt có bậc 99 và mọi hệ số thuộc $\{1;2;\dots ;99\}$?

b) Chứng minh rằng với mọi đa thức hệ số nguyên $P(x)$ có bậc 2, tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ sao cho $P(x)$ không là $p$-tốt.