Đề Thi Học Sinh Giỏi thành phố bằng chuyên cấp THPT và chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia 2026-2027 - Môn Toán - Ngày 2 (15/9/2026)

Câu 5 (6.0 điểm). Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng
$$\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2(a+b+c)}.$$

Xét dãy số nguyên dương $(a_n)$ thoả mãn $a_1>1$ và $\left(2^{a_n}-1\right)a_{n+1}$ là số chính phương với mọi $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Chứng minh rằng với mọi $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ thì $a_n>1$ và $g\left(a_{n+1}\right)>g\left(a_n\right)$, trong đó $g(k)$ là ước nguyên tố lớn nhất của số nguyên dương $k>1$.

(7.0 điểm) Với số nguyên dương $n\ge 2$, một bảng ô vuông $n\times n$ được gọi là bảng “tốt” nếu trong mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên dương thỏa mãn:

i) Các số nguyên dương đôi một phân biệt;

ii) Nếu trên mỗi hàng, mỗi cột, ta tính ước chung lớn nhất của $n$ số nguyên dương trong hàng, cột đó thì sau tất cả ta thu được $2n$ kết quả khác nhau.

a) Chứng minh rằng trong mỗi bảng $n\times n$ “tốt”, luôn có một ô vuông chứa số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng $2n^2$.

b) Một bảng ô vuông $n\times n$ được gọi là “tốt tối tiểu” nếu tất cả các số nguyên dương trong bảng đều nhỏ hơn hoặc bằng $2n^2$. Chứng minh rằng không tồn tại bảng “tốt tối tiểu” với $n$ là số lẻ.

c) Xác định tất cả các giá trị $n\ge 2$ để tồn tại bảng $n\times n$ “tốt tối tiểu”.