Đề Thi Học Sinh Giỏi thành phố và chọn đội tuyển HSG dự thi quốc gia các môn văn hoá lớp 12 THPT 2026-2027, Hà Nội - Môn Toán (Bảng A)

Xét $A$ và $B$ là hai biến cố của một phép thử. Biết rằng xác suất của các biến cố $\overline{A}$, $B$, $A\cap B$ lần lượt là $P(\overline{A})=0,7$; $P(B)=0,6$ và $P(A\cap B)=0,1$. Hỏi xác suất của biến cố $A\cup B$ bằng bao nhiêu?

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s(t)=-\frac{1}{2}{t}^2+20t$ (đơn vị: mét), với $t\ge 0$ (đơn vị: giây). Sau 8 giây tính từ khi chất điểm bắt đầu chuyển động, vận tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu mét/giây?

Ban chấp hành Đoàn thanh niên lớp 10A tổ chức cho các bạn trong lớp đăng kí tham gia các câu lạc bộ (CLB) của trường. Kết quả thu được như sau:
- Tham gia CLB bóng đá: có 10 học sinh;
- Tham gia CLB bóng chuyền: có 7 học sinh;
- Tham gia CLB bóng rổ: có 6 học sinh.
Trong danh sách đăng kí ở trên:
- Có 4 học sinh đăng kí tham gia cả CLB bóng đá và CLB bóng chuyền;
- Có 3 học sinh đăng kí tham gia cả CLB bóng đá và CLB bóng rổ;
- Có 2 học sinh đăng kí tham gia cả CLB bóng chuyền và CLB bóng rổ;
- Có 1 học sinh đăng kí tham gia cả ba câu lạc bộ.
Hỏi có bao nhiêu học sinh lớp 10A đăng kí tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ?

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(0;2)$ thỏa mãn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-2}{x-1}=4$. Giá trị của giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-\sqrt{f(x)+2}}{x^2-3x+2}$ bằng bao nhiêu?

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip (tham khảo hình vẽ). Giả sử độ cao $h$ (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được mô hình hóa bởi công thức $h=550-450\cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)$, trong đó $t$ (phút) là thời gian tính từ lúc vệ tinh bắt đầu bay vào quỹ đạo. Trong khoảng thời gian 200 phút tính từ lúc vệ tinh bắt đầu bay vào quỹ đạo, có bao nhiêu lần độ cao của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất là 325 km?

Kết quả đo khối lượng (đơn vị: gam) của 30 củ cà rốt ở một nông trại được cho bởi bảng dưới đây:

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a$, $AD=2a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$. Gọi $\alpha$ là số đo của góc nhị diện $[S,BD,C]$. Hỏi $\cos \alpha$ bằng bao nhiêu?

Tổng của tất cả các nghiệm của phương trình $2{\log }_2(x+5)+{\log }_2{x}^2=2{\log }_{2}6$ bằng bao nhiêu?

Một Bảng chữ nhật kích thước $6\times 8$ gồm 48 hình vuông có độ dài cạnh bằng 1. Gọi $S$ là tập hợp các hình chữ nhật, có diện tích là một số nguyên lẻ, được tạo thành từ các hình vuông cạnh 1 của Bảng chữ nhật (tham khảo hình vẽ). Hỏi tập hợp $S$ có bao nhiêu phần tử?

Cho dãy số $(u_n)$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thỏa mãn $u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n=3n^2-1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Giá trị của biểu thức $u_1+u_3+u_5+\cdots +u_{19}$ bằng bao nhiêu?

Kí hiệu $a,b,c$ tương ứng là độ dài các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$. Biết rằng $a(\cos B+\cos C)=b+c$ và $\cos (A-B)=\frac{1}{2}$. Số đo của góc $B$ bằng bao nhiêu độ?

Cho hai đường cong $(C_1):y={\log }_{a}x$ và $(C_2):y={\log }_{b}x$. Đường thẳng $d_1:x=8$ cắt các đường cong $(C_1),(C_2)$ lần lượt tại $A$ và $B$; đường thẳng $d_2:x=4$ cắt đường cong $(C_2)$ tại $C$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AB=2$. Hỏi ${\log }_2(ab)$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh 1, $\widehat{BAD}=60°$; cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=1$. Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số đa thức bậc sáu, có đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ.

Xét hàm số $g(x)=f(x^2)$, hỏi bất phương trình $g^{\prime }(x)\ge 0$ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn $[-2026;2027]$?

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2$ cm, $BC=4$ cm. Gọi $A_1,A_2,B_1,B_2$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD,BC,DA$. Một elip nhận bốn điểm $A_1,A_2,B_1,B_2$ là các đỉnh và cắt đường chéo $AC$ tại hai điểm $M,N$ (tham khảo hình vẽ).
Một chất điểm di chuyển trên đường thẳng $AC$ theo hướng từ $A$ đến $C$ với vận tốc là 1 cm/s. Thời gian để chất điểm di chuyển từ $M$ đến $N$ là bao nhiêu giây?

(1,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SD=a$ và các cạnh còn lại có độ dài bằng 1. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

(1,5 điểm) Một hộp đựng 20 chiếc thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 20, hai thẻ khác nhau được ghi hai số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ trong hộp nói trên. Tính xác suất của biến cố "Hiệu của bình phương hai số được ghi trên hai thẻ là một số chia hết cho 5".

(1,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=10\sqrt{3}$ và $AC=10$. Xác định ba đường tròn $(I_1),(I_2),(I_3)$ lần lượt như sau: đường tròn $(I_1)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$; đường tròn $(I_2)$ tiếp xúc ngoài với đường tròn $(I_1)$ và tiếp xúc với hai cạnh $CA,CB$ của tam giác; đường tròn $(I_3)$ tiếp xúc ngoài với đường tròn $(I_2)$ và tiếp xúc với hai cạnh $CA,CB$ của tam giác (như hình vẽ). Tính tổng chu vi của ba đường tròn $(I_1),(I_2)$ và $(I_3)$.
[Hình cần kiểm tra lại: p3_f2]

(1,5 điểm) Trong tiết hoạt động thực hành và trải nghiệm môn Toán tại sân trường, cô giáo giao nhiệm vụ cho học sinh lớp 12A thực hành bài toán sau:
Hai khu vực bồn hoa được các cựu học sinh xây dựng tặng nhà trường có dạng như Hình 1, gồm có:
- Bồn hoa 1: Viền ngoài bồn hoa có dạng cung parabol;
- Bồn hoa 2: Có dạng hình tròn;
- Một hàng rào nhỏ được trang trí nối giữa hai bồn hoa.
Hãy đo khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì lần lượt thuộc hai bồn hoa.
Sau khi thực nghiệm đo nhiều lần khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì lần lượt thuộc hai bồn hoa, các bạn lớp 12A đã đo đạc và mô tả kích thước trong thực tế như Hình 2.
[Hình cần kiểm tra lại: p3_f3]
Hình 1

Hình 2
Với kích thước trong thực tế như Hình 2, em hãy giải bài toán sau để kiểm chứng kết quả thực nghiệm:
Bài toán. Xét điểm $M$ trên cung parabol $\widehat{AnB}$ và điểm $N$ trên đường tròn $(C)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MN$ nhỏ nhất. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$.

(2,0 điểm) Xét hàm số $y=x^3+6ax+b$, với $a,b$ là các số thực, có đồ thị $(C)$. Xét $M,N$ là hai điểm phân biệt thuộc $(C)$ sao cho các tiếp tuyến với $(C)$ tại $M$ và $N$ đều có hệ số góc bằng 3. Biết khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $MN$ bằng 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=2a^2+b^2+\frac{4}{17a^2+8a+2}$$