Đề Thi Học Sinh Giỏi Tỉnh Lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2025-2026 Môn Toán

a) Giải phương trình $\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}\right)\left(x^2+\sqrt{x^2+4x+3}\right)=2x$

b) Cho hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{4x^2-4(m+3)x+m^2+6m}}$, với $m$ là tham số. Tìm số giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $(-2025;2026)$ để hàm số đã cho xác định trên tập $(-2;1)\cup (4;6)$.

a) Trong năm 2026, một cửa hàng kinh doanh xe máy dự định bán hai loại xe máy là xe Lead và xe Vision, với tổng số vốn ban đầu không vượt quá 36 tỉ đồng. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Lead là 40 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 5 triệu đồng một chiếc. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Vision là 30 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 3,2 triệu đồng một chiếc. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu thị trường không vượt quá 1100 chiếc xe cả hai loại, trong đó nhu cầu xe Lead không vượt quá 1,5 lần nhu cầu xe Vision. Hỏi lợi nhuận dự kiến có thể thu được lớn nhất của cửa hàng là bao nhiêu triệu đồng?

b) Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau được chọn từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6$. Gọi T là tập các số thuộc S và mỗi số đó nhỏ hơn 25000. Tìm số phần tử của S và số phần tử của T.

a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có trọng tâm $G$. Biết rằng các đỉnh $A$ và $B$ cùng nằm trên trục hoành, đường thẳng chứa cạnh $BC$ có phương trình $4x-3y-12=0$, diện tích tam giác $ABG$ bằng 8. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$.

b) Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $BC=a,AC=b,AB=c$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AC$ và $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$. Giả sử đường thẳng $AD$ cắt đường trung tuyến $BM$ tại điểm $H$ sao cho $AH$ là đường cao của tam giác $ABM$. Tính giá trị $\tan A$, biết rằng tỉ số giữa độ dài đường trung tuyến $BM$ và độ dài đường phân giác $AD$ bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Bác Hùng có một khu vườn hình thang vuông $ABCD$ với $AB=45m$, $AD=30m$. Bác ấy đã đào một cái hồ để trồng sen, hồ được bao bởi cạnh $BC$ và đường cong $BIC$ là một phần của đường parabol đỉnh $I$ như hình vẽ.



Bác Hùng muốn làm một con đường đi từ điểm $M$ trên cạnh $AD$ ra một điểm trên mép hồ sen rồi lại từ điểm đó tới một điểm trên cạnh $AB$. Biết khoảng cách từ $I$ đến $AB$ và $AD$ tương ứng là $20m$ và $25m$, hỏi tổng chiều dài con đường đó ngắn nhất là bao nhiêu mét?

Cho tập $X=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ và lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Có bao nhiêu cách đặt các chữ số trong tập $X$ vào các đỉnh và tâm của lục giác sao cho mỗi vị trí chứa đúng một số( hai vị trí khác nhau đặt hai số khác nhau) đồng thời số ở tâm là một số lẻ và tổng 3 số trên 3 điểm thẳng hàng bằng nhau.

Tìm tất cả các hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
$$f(1)\ne f(0)\text{ vaˋ }f(f(1))=f(f(0))=f(f(-1))$$