Đề Thi Học Sinh Giỏi Tỉnh Lớp 12 2026-2027 - Nghệ An - Toán Bảng A (Phần tự luận) - Đề Số 2

1) Tìm số điểm cực trị của hàm số: $y=\left|x^2-2x-3\right|+2x$.
2) Một người gửi vào ngân hàng tháng đầu tiên 10 triệu đồng với kì hạn một tháng và lãi suất 4,5\%/tháng (theo hình thức lãi kép). Cứ sau mỗi kì hạn người đó tiếp tục gửi vào ngân hàng nhiều hơn số tiền gửi của kì hạn trước 1 triệu đồng. Hỏi cuối kì hạn thứ 12 (kể từ lần gửi đầu tiên) người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, người đó không rút tiền trong suốt quá trình gửi)?

Một doanh nghiệp cung cấp phần mềm theo hình thức thuê bao hàng tháng. Qua khảo sát thị trường, nếu có $x$ nghìn khách hàng đăng ký thì mức giá phù hợp cho mỗi thuê bao được mô hình hóa bởi công thức $p(x)=500-10x$ (nghìn đồng/tháng), với $15\le x\le 30$. Nền tảng thanh toán giữ lại 5\% doanh thu. Tổng chi phí vận hành hàng tháng của doanh nghiệp được mô hình hóa bởi công thức $C(x)=500+20x+0,5x^2$ (triệu đồng). Để duy trì hệ thống phục vụ $x$ nghìn khách hàng, hàng tháng doanh nghiệp cần một lượng vốn hoạt động $K(x)=1000+20x$ (triệu đồng). Gọi $L(x)$ là lợi nhuận hàng tháng của doanh nghiệp và đặt $H(x)=\frac{L(x)}{K(x)}$ là chỉ số hiệu quả sử dụng vốn. Hỏi doanh nghiệp nên đặt giá thuê bao là bao nhiêu nghìn đồng mỗi tháng để chỉ số $H(x)$ lớn nhất? (Biết rằng chính sách định giá mức giá thuê bao chỉ được chọn theo các bội của 5 nghìn đồng).

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$. Biết $SA=SC=SM=a\sqrt{5}$.
1) Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ và cosin của góc giữa đường thẳng $SC$ với mặt phẳng $(SAB)$.
2) Gọi $E$ là trung điểm $SC$, $I$ là điểm nằm trên đoạn $AE$ sao cho khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(SHC)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AI$.

Tại một sự kiện tri ân khách hàng, ban tổ chức thiết kế trò chơi quay số trúng thưởng. Vòng quay được chia thành 6 hình quạt bằng nhau và được đánh số từ 1 đến 6 (tham khảo hình vẽ). Người tham gia trò chơi quay chiếc vòng quay độc lập 4 lần liên tiếp (mỗi lần kim dừng ngẫu nhiên ở một ô và xác suất quay vào mỗi ô là như nhau). Nếu kết quả 4 số trong 4 lần quay chia được thành hai nhóm có tổng bằng nhau thì người chơi sẽ trúng thưởng. Tính xác suất để người chơi trúng thưởng sau 4 lần quay.

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, đáy $ABC$ có cạnh $2\sqrt{3}$, chiều cao $A{A}^{\prime }=6$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh bên $A{A}^{\prime }$. Một điểm $M$ di động trong không gian sao cho tam giác $IAM$ cân tại $I$, diện tích tam giác $IAM$ bằng $\frac{9\sqrt{7}}{8}$ và $\widehat{AIM}$ là góc tù. Gọi $D$ là điểm đối xứng $A$ qua $BC$. Điểm $P$ thoả mãn $P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2+P{D}^2+P{A}^{\prime 2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng $PM$ và cạnh bên $A{A}^{\prime }$.