Đề Thi Học Sinh Giỏi vòng II các môn văn hóa cấp THPT 2026 - Môn Toán - Buổi thi thứ hai (Ngày 2)

a. (2,5 điểm) Cho hai số nguyên dương $u,v$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh mọi ước nguyên tố $q>3$ của $A=u^2-uv+v^2$ đều có dạng $6k+1$, $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b. (3,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$, với $(x,70)=1$, thỏa mãn phương trình sau:
$$x^6+70^6=2089^y-62^y.$$

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=3,\\ u_{n+1}=\frac{2(n+1)u_n-n-2}{n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$
a. (3,0 điểm) Tính $\lim \left(\frac{u_n}{n}-2^n\right)$.
b. (4,0 điểm) Có hay không số $i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $u_i{u}_{i+1}=m\cdot 2027^2$ với $m$ là một số nguyên dương? Tại sao?

a. (3,0 điểm) Cho $A$ là bảng các ô vuông có kích thước $2026\times 2026$. Điền vào mỗi ô của bảng $A$ một số thuộc tập hợp $M=\{-1;0;1\}$. Có bao nhiêu cách điền sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảng vuông con $2\times 2$ bất kì đều bằng 0?
b. (4,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tập hợp $S$ gồm 62 điểm phân biệt có tọa độ nguyên sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Với mỗi cặp điểm phân biệt $A(x_A,y_A)$ và $B(x_B,y_B)$ thuộc $S$, ta xét đại lượng:
$$T(A,B)=(x_A-x_B{)}^2+70(y_A-y_B{)}^2.$$
Hai điểm $A,B$ được gọi là "liên kết" với nhau nếu $T(A,B)$ chia hết cho 3.
Chứng minh tồn tại một tam giác có ba đỉnh thuộc $S$, đôi một "liên kết" với nhau mà diện tích là một số nguyên chia hết cho 9.