Đề Thi Học Sinh Giỏi vòng II các môn văn hóa cấp THPT 2026 - Môn Toán - Buổi thi thứ nhất (Ngày 1)

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $$\{\begin{array}{l}x+y=3\sqrt{y-5}+3\sqrt{x+3}\\ \sqrt{x^2+6(y-x)}+2\sqrt{xy}=3y\end{array}.$$

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(f(x)+y)=f(x^4-y)+8yf(x)\left((f(x){)}^2+y^2\right),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$ và không vuông góc nhau, đồng thời hai đường chéo không vuông góc với các cạnh của tứ giác. Gọi $d_1,d_2,d_3$ lần lượt là các đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với các đường thẳng $AB$, $AD$, $BC$. Trên đường thẳng $d_1$ lấy một điểm $G$ di động. Đường thẳng $GA$ cắt $d_2$ tại $F$ sao cho điểm $A$ nằm giữa $G$ và $F$, đường thẳng $GB$ cắt $d_3$ tại $H$ sao cho điểm $B$ nằm giữa $G$ và $H$.
a) Gọi $K,L$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $OAD$ và $OBC$. Gọi $(C_1),(C_2)$ lần lượt là đường tròn đường kính $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng đường thẳng $KL$ chính là trục đẳng phương $\Delta$ của hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$.
b) Chứng minh khi $G$ thay đổi, đường thẳng $FH$ luôn đi qua một điểm cố định hoặc luôn song song với một đường thẳng cố định.

[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]

Trên bảng được viết 2026 số nguyên. Mỗi bước, giáo viên cho phép học sinh thực hiện thao tác như sau: Chọn ra hai số $a$ và $b$ bất kỳ trên bảng thoả mãn điều kiện khoảng cách giữa chúng lớn hơn 70 (tức là $|a-b|>70$), sau đó xoá hai số này đi và viết lên bảng hai số nguyên mới là $\lfloor \frac{a+b}{2}\rfloor$ và $\lceil \frac{a+b}{2}\rceil$.
(Trong đó, ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là phần nguyên của $x$, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$; và $\lceil x\rceil$ là phần trần của $x$, tức là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $x$).
a) Chứng minh sau một số hữu hạn bước, quá trình trên phải dừng lại (tức là không thể tìm được cặp số $a,b$ nào thoả mãn điều kiện $|a-b|>70$).
b) Giả sử quá trình đã dừng lại. Chứng minh trên bảng luôn tồn tại ít nhất 29 số có giá trị bằng nhau.