Đề Thi Học Sinh Giỏi Vòng II Toán THPT 2025 Sở GD&ĐT Tây Ninh

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
$$\{\begin{array}{l}\sqrt{2x^{2}y+3y}=\frac{1}{2}\left(3y-3-2x^2\right)\\ \sqrt{2x^2+4x-y+2}=1-\sqrt[3]{2x^2+2x-y+2}\end{array}.$$

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn:
$$P\left(P(x)\right)=\left(x^2+2025x+2025\right).P(x),\forall x\in \mathbb{R}.$$

a) Cho tứ giác $ABCD$ có các cặp cạnh đối không song song. Gọi $E$ là giao điểm $AB$ và $CD$; $F$ là giao điểm $AD$ và $BC$. Các điểm $H,I,J$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AC,BD,EF$. Chứng minh ba điểm $H,I,J$ cùng nằm trên một đường thẳng.
b) Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn $w$. Đường tròn $w^{\prime }$ thay đổi đi qua $B,C$ cắt các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$ ($E$ khác $A$ và $B$; $F$ khác $A$ và $C$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $w$ tại $K$ ($K$ khác $A$). Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $BF,CE$. Chứng minh $KA$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$.

Một gia đình ba thế hệ có 26 thành viên, trong đó có 16 người trưởng thành và 10 em bé. Mỗi em bé nuôi một con heo đất. Nhân dịp lễ 2/9, cả gia đình nhận được 2600000 đồng từ Chính phủ gồm 4 tờ tiền mệnh giá 500000 đồng và 6 tờ tiền mệnh giá 100000 đồng. Giả sử các tờ tiền cùng mệnh giá là giống nhau. Để lưu giữ kỉ niệm, gia đình quyết định lấy 10 tờ tiền vừa nhận được bỏ vào các con heo đất của những em bé. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ các tờ tiền trên vào các con heo đất trong các trường hợp sau:
a) Mỗi con heo đất nhận đúng 1 tờ tiền?
b) Có đúng 2 con heo đất không nhận được bất kì tờ tiền nào?

Cho bảng vuông $A$ có kích thước $n\times n$, với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n\ge 2$.
a. Điền vào mỗi ô của bảng $A$ một số nguyên trong tập hợp $M=\{1;2;3\}$. Có bao nhiêu cách điền số vào bảng $A$ sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảng vuông con $2\times 2$ bất kì luôn chia hết cho 3?
b. Tìm tất cả các số tự nhiên $n\ge 3$ thỏa mãn tính chất sau: “Nếu điền vào mỗi ô của bảng $A$ một số nguyên tùy ý sao cho tổng của $n$ số trên mỗi hàng, trên mỗi cột và trên từng đường chéo bằng nhau thì tổng của tất cả các số trên bảng $A$ chia hết cho $n^2$”.

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn:
$$u_1=\frac{5}{2},u_{n+1}=\frac{2u_n^2+4u_n+9}{u_n^2+u_n+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
a. Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn.
b. Tìm $\lim (u_n)$.

Để trang trí bàn học cho bạn A vào đầu năm học mới, mẹ của A đến cửa hàng mua một số văn phòng phẩm như sau:
• 3 chân đế cắm cờ kích thước giống nhau nhưng đủ cả ba màu xanh, đỏ, vàng. Mỗi chân đế có thể cắm được tối đa 15 lá cờ.
• 15 lá cờ để cắm vào các chân đế trên, trong đó gồm 5 lá cờ màu xanh, 5 lá cờ màu đỏ, 5 lá cờ màu vàng.
Giả sử các lá cờ cùng màu là giống nhau và bạn A sử dụng hết 15 lá cờ để cắm.
a. Có bao nhiêu cách để bạn A chọn chân đế và cắm cờ tùy ý?
b. Tìm số cách bạn A cắm 15 lá cờ vào 3 chân đế sao cho số lượng lá cờ được cắm ở mỗi chân đế bằng nhau.