Đề thi lập đội tuyển tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia THPT 2026-2027, Môn Toán (ngày thi 16/9/2026) - Đề Số 2

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(x+yf(x))+f(xy)=f(x)+f(2026y),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $DE,DF$.
a) Giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDM$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDN$ là $K$. Chứng minh rằng $K$ nằm trên đường tròn $(I)$.
b) Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDM$ và đường tròn $(O)$, $Q$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDN$ và đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng bốn điểm $P,Q,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.

Một dàn đèn LED dạng lưới tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $n$ (với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n⋮4$) được chia thành các tam giác đều có cạnh bằng 1, mỗi nút của lưới có một bóng đèn (tham khảo hình vẽ). Mỗi đèn có hai trạng thái: bật và tắt. Ban đầu, tất cả các đèn đều ở trạng thái tắt. Kí hiệu $X_i,Y_j,Z_i$ là các đường thẳng lần lượt song song hoặc trùng với $BC$, $AB$, $AC$ chứa đúng $i$ đèn $(i=1,2,\dots ,n+1)$. Với mỗi thao tác, người ta tác động vào một trong các đường thẳng $X_i,Y_j,Z_k$ làm cho trạng thái của tất cả các đèn nằm trên đó thay đổi: đèn đang tắt sẽ bật, đèn đang bật sẽ tắt.
a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng $X_i,Y_j,Z_k$ cùng đi qua một đèn là $i+j+k=2n+3$.
b) Từ trạng thái ban đầu, hãy chỉ ra một dãy thao tác trong đó số lần tác động vào mỗi đường thẳng $X_i,Y_j,Z_k$ nhiều nhất bằng 1, đồng thời mỗi nhóm $(X_1,\dots ,X_{n+1}),(Y_1,\dots ,Y_{n+1})$ và $(Z_1,\dots ,Z_{n+1})$ đều có ít nhất một đường thẳng được tác động, để sau dãy thao tác này tất cả các đèn đều tắt.
c) Với mỗi trạng thái $H$ có thể xảy ra của dàn đèn LED, gọi $s(H)$ là số thao tác ít nhất cần thực hiện để tạo ra $H$ từ trạng thái ban đầu. Tìm giá trị lớn nhất của $s(H)$.