Đề Thi Olympic Toán 11 2025-2026 Cụm THPT Số 14 - Hà Nội

Con lắc đồng hồ dao động quanh một vị trí cân bằng $O$ (vị trí thẳng đứng) có phương trình chuyển động là $s=A\cos \left(\pi t+\frac{\pi }{4}\right)$ (cm). Trong đó $|s|$ là độ dài cung tròn từ vị trí của vật nặng ở thời điểm $t$ đến vị trí của vật nặng tại vị trí cân bằng $O$, $s$ gọi là li độ cong, $t$ (giây) là thời gian dao động của con lắc. Ta quy ước rằng $s>0$ nếu vật ở bên phải vị trí cân bằng, $s<0$ nếu vật ở bên trái vị trí cân bằng. Biết rằng khi $t=0,75$ giây thì con lắc có li độ $s=-4$. Hãy tìm giá trị của A?

Cho một hình vuông có cạnh bằng $a$. Người ta nối trung điểm các cạnh của hình vuông đó để tạo ta một hình vuông nhỏ hơn. Từ hình vuông này, người ta lại thực hiện công việc như trên để tạo ra một hình vuông nhỏ hơn nữa và cứ thực hiện công việc như thế mãi mãi. Tính tổng của tất cả các diện tích hình vuông đó.

Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực khác $0$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{ax-b\sqrt{9x^2+2}}{cx+1}=5$. Hãy tính giá trị $\frac{2a+6b}{c}$

Khảo sát thời gian chạy bộ (tính bằng phút) của một nhóm học sinh trong một ngày được cho bằng bảng sau



hãy tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$. Xác định góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AP$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên các cạnh $SB$, $SD$. Góc giữa mặt phẳng $(AMN)$ và đường thẳng $SC$ bằng bao nhiêu độ?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SD$, $N$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Đường thẳng $MN$ cắt mặt phẳng $(SBC)$ tại điểm $I$. Tính tỷ số $\frac{IN}{IM}$. (kết quả viết ở dạng phân số tối giản)

Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để khi gieo hai đồng xu cùng lúc được kết quả 1 sấp và 1 ngửa.

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${\log }_4(x+y)={\log }_{2}x+{\log }_{2}y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+y^2$.

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $5\left(\frac{\sin x+\sin 3x}{2\sin 2x}\right)=\cos 2x+3$ trên khoảng $(0;4\pi )$.

Cho dãy số $\{u_n\}$ xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2026}+u_n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$
Tính: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+\cdots +\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)$.

Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.

Một tấm ván hình chữ nhật ABCD được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu $2m$. Cho biết $AB=1m$, $AD=\sqrt{7}m$. Tính góc giữa BD và đáy hố ( có thể coi rằng đáy hố là một mặt phẳng)

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.

a. Chứng minh $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$.

b. Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ là góc tạo bởi OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=(3+{\cot }^2\alpha )(3+{\cot }^2\beta )(3+{\cot }^2\gamma )$