Đề Thi Olympic Toán Học THPT Vòng Chung Kết THCS & THPT Bình Chánh An Giang - Đề Số 2

Giải phương trình hàm số mũ sau đây trên tập số thực $\mathbb{R}$: $3^x+5^x=2.4^x$

Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho phương trình sau có hệ nghiệm duy nhất là hệ nghiệm $(x;y)$
$$\{\begin{array}{l}{\log }_2(x^2+y^2+2)\le 1+{\log }_2(xy+1)\\ x+y=m\end{array}$$

Cho hàm số $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ . Tính giá trị biểu thức $P=f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right).f^{\prime }\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right).f^{\prime }\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Ta có dãy số $(x_n)$ thoả mãn $x_{n+1}=\frac{x_n^2+4}{5}$ . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, cạnh $AB=a$ và cạnh $AC=a\sqrt{5}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$ và $SA=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$.
a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$
b) Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(SBC)$

Một lớp học có 40 học sinh. Trong đó, có 22 học sinh thích môn Toán, 18 học sinh thích môn Vật lý, và 15 học sinh thích môn Hóa học. Biết rằng có 9 học sinh thích cả Toán và Vật lý, 7 học sinh thích cả Vật lý và Hóa học, 6 học sinh thích cả Hóa học và Toán. Ngoài ra, có 3 học sinh thích cả 3 môn học trên.
a) Tính số học sinh của lớp ít nhất thích một trong ba môn học (Toán, Lý, Hóa).
b) Nhà trường cần chọn ngẫu nhiên từ lớp học đó một nhóm gồm 3 học sinh. Tính số cách chọn nhóm sao cho có ít nhất 1 học sinh không thích bất kỳ môn học nào trong ba môn trên.

Tìm tất cả đa thức $P(x)$ thoả mãn $P(x^2)=x^3.P(x)$ với mọi $x$ số thực

Cho đa thức $A(x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$. Chứng minh $A(x)$ bất khả quy.