Đề Thi Olympic Toán Lớp 10 2025-2026

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{l}3x+1\text{ khi }x>-3\\ 2x^2+3x-5\text{ khi }x\le -3\end{array}$. Giá trị của biểu thức $f(-5)+f(2)$ bằng bao nhiêu?

Các thành phố $A$, $B$, $C$ được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố $A$ đến thành phố $C$ mà qua thành phố $B$ chỉ một lần?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=-2+3t\end{array},(t\in \mathbb{R})$ có phương trình tổng quát là $ax+2y+b=0$. Hỏi $a-b$ bằng bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ có $AB=10$, $\hat{C}=60^{\circ }$ và $\hat{A}=45^{\circ }$. Độ dài cạnh $BC$ bằng bao nhiêu?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(3;-4)$, $B(1;5)$, $C(3;1)$. Diện tích $\Delta ABC$ bằng bao nhiêu?

Cho các tập hợp $A=[m-1;2m+1),(A\ne \varnothing )$ và $B=(-2;3)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $A\subset B$?

Cho hàm số $y=a{x}^2+bx+2(a\ne 0)$ có đồ thị $(P)$. Biết rằng đồ thị $(P)$ đi qua điểm $M(1;5)$ và có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{1}{4}$, hỏi giá trị $a^2+b^2$ bằng bao nhiêu?

Cho $x;y$ là các số thực thỏa mãn hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}$$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=x-y$ bằng bao nhiêu?

Hộp A chứa 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng. Hộp B chứa 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 6 quả cầu trắng. Hộp C chứa 5 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng. Từ mỗi hộp lấy ra đúng một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy từ 3 hộp được 3 quả cầu có màu giống nhau?

Cho hình vuông $ABCD$ có $AB=8$ và điểm $M$ tùy ý. Biểu thức $T=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|+2\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=x^2-3x+4$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $y=2x-m$, với $m$ là tham số.
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị $(P)$.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $O{A}^2+O{B}^2=57$, với $O$ là gốc tọa độ.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(2;3)$, $B(-1;5)$ và đường thẳng $d:2x+y+1=0$.
a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng $AB$.
b) Tính khoảng cách từ điểm $A(2;3)$ đến đường thẳng $d$.
c) Tìm tọa độ điểm $C$ thuộc đường thẳng $d$ và tọa độ điểm $D$ thuộc đoạn thẳng $AC$, biết rằng tam giác $ABC$ cân tại $B$ và $DC=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập được bao nhiêu
a) Số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau?
b) Số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện ba lần, chữ số 4 xuất hiện hai lần và các chữ số còn lại mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần?