Đề Thi Thử HSG Toán 12 Lần 2 2024-2025 THPT Nguyễn Bính - Nam Định

Câu 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Câu 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $BD=a$. Cạnh $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$.

Câu 3: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $[f(2x+1){]}^2+[f(1-x){]}^3=x$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm có hoành độ bằng $1$.

Câu 4: Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có $6$ chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số $0$ và $1$.

Câu 5: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x-4}{2-x}$ có phương trình là

Câu 6: Hàm số $y=x^4-4x^3$ đồng biến trên khoảng

Câu 7: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có chiều cao bằng $a\sqrt{3}$ và hai đường thẳng $A{B}^{\prime },B{C}^{\prime }$ vuông góc với nhau. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Câu 8: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{9x^2-4}+2x^2+1}{x^2-3x}$ là

Câu 9: Biết rằng đồ thị của hàm số $y=\frac{(m-2)x+m+2024}{x-n-2}$ nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của $m+n$ bằng

Câu 10: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x^3(x-1{)}^2(x+2),\forall x\in \mathbb{R}$. Khoảng nghịch biến của hàm số là

Câu 11: Cho tứ diện $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{c}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 12: Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ tâm $O$. Gọi $I$ là tâm của hình bình hành $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{u}$, $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\vec{v}$, $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\vec{x}$, $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=\vec{y}$. Khi đó:

Câu 13: Cho hàm số $y=-x^3-m{x}^2+(4m+9)x+15$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Câu 14: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c},\overrightarrow{AD}=\vec{d}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 15: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Hàm số $g(x)=f(2x+7)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 16: Hàm số $y=\frac{2x+5}{x+1}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 17: Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian $Oxyz$, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí $P$ một lực $\vec{F}$ để vặn con ốc ở vị trí $O$ (H.5.6) thì moment lực $\vec{M}$ được tính bởi công thức $\vec{M}=[\overrightarrow{OP},\vec{F}]$. Cho $\overrightarrow{OP}=(x;y;z),\vec{F}=(a;b;c)$. Nếu giữ nguyên lực tác động $\vec{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực $P$ sang $P^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=2\overrightarrow{OP}$ moment lực là ${\vec{M}}^{\prime }$. Khi đó ${\vec{M}}^{\prime }=k\cdot \vec{M}$. Tính $k$.

Câu 18: Cho hình chóp $S.ABC$ có $BC=a\sqrt{2}$, các cạnh còn lại đều bằng $a$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng?

Câu 19: Một chất điểm chuyển động theo quy luật $S(t)=3t^2-t^3$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây và $S(t)$ là quãng đường tính bằng mét. Thời điểm $t$ tại đó vận tốc $v\text{ (m/s)}$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

Câu 20: Cho parabol $(P_1):y=-x^2+6$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $A,B$ và đường thẳng $d:y=a(0<a<6)$. Xét parabol $(P_2)$ đi qua $A,B$ và có đỉnh thuộc đường thẳng $y=a$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_1)$ và $d$; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_2)$ và trục hoành (tham khảo hình vẽ).



Biết $S_1=S_2$, tính $T=a^3-12a^2+108a$.

Câu 1: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $[0;+\infty )$ thỏa mãn $f(0)=1,f(x)>0,\forall x\in [0;+\infty )$ và $\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{2f^{\prime }(x)+1}=1,\forall x\in [0;+\infty )$.

Câu 2: Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA=1,OB=2,OC=3$. Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Câu 3: Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số $y=f(x)=-\frac{1}{1320000}{x}^3+\frac{9}{3520}{x}^2-\frac{81}{44}x+840$ với $0\le x\le 2000$. Khi đó, xét tính đúng, sai của các khẳng định sau

Câu 4: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+3{)}^2(x^2-x)$ với $\forall x\in \mathbb{R}$.

Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình thang cân, $AB=BC=CD=a,AD=2a$, $O$ là trung điểm của cạnh $AD$. Biết rằng góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Câu 6: Cho hàm số $y=\frac{mx+3}{x+m+2}$ với tham số $m$.

Câu 1: Cho hàm số $y=x^4-2x^2-3$. Tìm số cực trị của hàm số $y=|x^4-2x^2-3|$.

Câu 2: Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Tính $\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DE})$.

Câu 3: Cho hàm số $f(x)=x^5+4x^3+m+2024$. Số giá trị nguyên âm của tham số $m$ để bất phương trình $f(\sqrt[3]{f(x)+m})\ge x^3-m$ có nghiệm thuộc đoạn $[0;3]$ là?

Câu 4: Hình vẽ dưới đây mô tả một ngọn núi có dạng hình nón có độ dài đường sinh bằng $60\text{ m}$, bán kính đáy bằng $20\text{ m}$. Nhà đầu tư du lịch dự định xây dựng một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch tham quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ vị trí $A$ và dừng ở vị trí $B$ sao cho đoạn $AB=10\text{ m}$. Biết rằng người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ $A$ đến $B$, đoạn đường đầu là phần lên dốc từ $A$ và đoạn sau sẽ xuống dốc đến $B$. Khi đó quãng đường xuống dốc đi từ $A$ đến $B$ bằng $\frac{a}{\sqrt{b}}$ với $a,b\in \mathbb{N}$. Tính tổng $T=a+b$.

Câu 5: Gọi $(C)$ là đồ thị của hàm số $y=\frac{(m+1)x^2+(2m+1)x+m+2}{x+1}$ (với $m\ne -1$), giá trị của $m$ để tiệm cận xiên của $(C)$ đi qua điểm $A(2;8)$.

Câu 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là điểm thay đổi trên $SO$. Tỉ số $\frac{SM}{SO}=\frac{a}{b}$ sao cho $P=M{S}^2+M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ nhỏ nhất là bao nhiêu. Tính $a+b$?

Câu 7: Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh $90\text{ (cm)}$. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng $x\text{ (cm)}$ (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm $x$ để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất.

Câu 8: Cho hàm bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.



Hỏi đồ thị hàm số $y=\frac{(x^2+4x+3)\sqrt{x^2+x}}{x[f^2(x)-2f(x)]}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Câu 9: Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập như hình vẽ, cho biết $M$ là vị trí của máy bay, $OM=14,\widehat{HOB}=30^{\circ },\widehat{MOC}=60^{\circ }$. Điểm $M(a;b;c)$. Tính $P=abc$.

Câu 10: Người ta muốn làm một sàn nổi hình vuông nối liền một sân khấu nổi trên mặt hồ có bờ là một nhánh đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}(C)$ với đất liền là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng $d:y=-x+1$. Tính diện tích $S$ của mặt sàn nổi, biết hình vuông có $2$ đỉnh nằm trên $(C)$, $2$ đỉnh còn lại nằm trên $d$.