Kiểm Tra Chất Lượng Toán 10 THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam Lần 1 2025-2026

Cho bốn số thực dương $a$, $b$, $c$ và $d$ có tích bằng 1. Chứng minh rằng
$$a^4+b^4+c^4+d^4\ge 4\left[1+(a-b{)}^2\right].$$

Cho tam giác $ABC$, không vuông, với hai đường cao $BE$, $CF$. Xét $X$ thay đổi trên đường thẳng $BE$ và $Y$ thay đổi trên đường thẳng $CF$ sao cho $\widehat{XAY}=90°$. Gọi $Z$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $XY$. Chứng minh rằng khi $X$, $Y$ thay đổi, nhưng $\widehat{XAY}=90°$, $Z$ luôn thuộc một đường tròn cố định.

Cho số nguyên tố $p$ sao cho số $x^2-x+p$ là số nguyên tố với mọi $x\in \{0,1,2,\dots ,p-1\}$. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(a;b;c)$ thỏa mãn $0<a\le c$, $-a\le b<a$ và
$$1-4p=b^2-4ac.$$

Cho một bảng ô vuông $A$ kích thước $9\times 9$ gồm 9 hàng và 9 cột (tham khảo hình vẽ bên). Trên mỗi ô vuông của $A$ ta viết một số thực sao cho: với mỗi bảng ô vuông con $B$ của $A$ với kích thước $3\times 3$ và mỗi bảng ô vuông con $C$ của $A$ với kích thước $4\times 4$, thì tích của các số trong $B$ bằng tích của các số trong $C$. Hỏi tích của các số trong bảng $A$ có thể bằng 2025 hay không?