Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT Toán 2025-2026 - Ngày Thi Thứ Hai 11/09/2025 - Đề Số 3

Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$, $D$ là điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng $CM$. Lấy $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu của $B$, $C$ trên đường thẳng $AD$. Gọi $G$ là giao điểm của đường thẳng qua $E$ song song với $AB$ và đường thẳng qua $F$ song song với $AC$, $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $GEF$.

a) Chứng minh rằng $\widehat{OKD}=90^{\circ }$.

b) Gọi $N$ là trung điểm của $OA$. Chứng minh rằng $NM=NK$.

An và Bình chơi trò chơi trên bảng 8 x 8. Hai bạn thay phiên nhau đi. Mỗi bước, An đánh dấu một ô trống nào đó (chưa được đánh dấu cũng như không bị phủ bởi các quân domino). Còn mỗi bước, Bình được phép chọn 2 ô kề nhau và phủ chúng bởi một quân domino sao cho hai ô này đều chưa bị phủ bởi domino, và tổng số ô bị đánh dấu mà quân domino đó phủ lên là 0 hoặc 2 (tức là, hoặc cả hai ô đều đã bị đánh dấu, hoặc cả hai ô đều chưa bị đánh dấu). Người nào không thể đi được nữa thì thua. Hỏi ai có chiến lược thắng cuộc nếu:

a) An là người đi trước?

b) Bình là người đi trước?

* Một domino là một hình chữ nhật gồm hai ô kề nhau.

Với số nguyên dương $n$, ký hiệu $\tau (n)$ là số các ước số nguyên dương của $n$ (kể cả 1 và $n$).

a) Chứng minh rằng phương trình $\tau (n)=2025$ có vô số nghiệm.

b) Hãy tìm tất cả số nguyên dương $k$ sao cho $\tau \left(n^2\right)=k\tau (n)$, với $n$ nguyên dương nào đó.