Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT Toán 2025-2026 - Ngày Thi Thứ Nhất - Đề Số 1

(6 điểm) Cho hai đa thức $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ và $Q(x)=b_n{x}^n-b_{n-1}{x}^{n-1}-...-b_{1}x-b_0$ có hệ số thực thỏa mãn $0<b_n<\left|a_n\right|$ và $b_i>\left|a_i\right|$ với mọi $i\in \{0;1;...;n-1\}$.

a) Chứng minh rằng $Q(x)$ có đúng một nghiệm dương duy nhất.

b) Gọi $x_0$ là nghiệm dương duy nhất của $Q(x)$. Chứng minh rằng các nghiệm của $P(x)$ nếu có thì đều thuộc khoảng $\left(-x_0;x_0\right)$.

(7 điểm)

a) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $x^2-3xy+y^2=3$.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho tồn tại vô hạn số nguyên dương $k$ thỏa mãn phương trình $x^2-kxy+y^2=m$ có ít nhất một nghiệm nguyên $(x,y)$ với $x>0,y>0$.

(7 điểm) Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$.

a) Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là trung điểm của $AI,BI,CI$. Chứng minh rằng $DX,EY,FZ$ đồng quy.

b) Gọi $L$ là giao điểm của $AD$ với $EF$, lấy điểm $P$ thuộc $BC$ sao cho $\frac{PB}{PC}=\frac{LF}{LE}$, $M$ là trung điểm $BC$. Trên đường trung trực của $MP$ lấy $K$ sao cho $MK$ song song với $AI$. Chứng minh rằng đường tròn tâm $K$ đi qua $M$ và $P$ tiếp xúc với đường tròn $(BIC)$.