Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT Toán 2025-2026 - Ngày Thi Thứ Nhất - Đề Số 2

Bài 1 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(T)$ thay đổi đi qua $B,C$ cắt hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại điểm thứ hai là $D,E$. Gọi $I$ là giao điểm của $BE$ và $CD$, $F$ là giao điểm của $DE$ và $BC$, $K$ là giao điểm thứ hai của $AF$ và $(O)$, $J$ là trung điểm $AF$. Đường thẳng $IJ$ cắt $(T)$ tại $M,N$ ($M$ nằm giữa $J$ và $N$). Tiếp tuyến của $(T)$ tại $N$ cắt $AF$ tại $S$.
a) Chứng minh rằng đường tròn $(SKI)$ đi qua trung điểm của $MN$.
b) Gọi $(\omega )$ là đường tròn đi qua $F,M$ và tiếp xúc với $(T)$. Chứng minh rằng $(\omega )$ luôn đi qua một điểm cố định khi $(T)$ thay đổi.

Bài 2 (7,0 điểm). Trên bàn cờ kích thước $2026\times 2026$ được chia thành các ô vuông, có một quân mã. Cho biết rằng quân mã này có thể nhảy giữa hai ô nằm ở hai góc đối diện nhau trên các hình chữ nhật con kích thước $3\times 2$ hoặc $2\times 3$ của bàn cờ.
a) Giả sử quân mã xuất phát từ một ô nào đó, nhảy 2025 bước qua 2025 ô phân biệt của bàn cờ. Chứng minh rằng quân mã không thể dừng lại ở ô có đúng một đỉnh chung với ô mà nó xuất phát.
b) Tính số cách mà quân mã có thể nhảy từ ô góc dưới bên trái lên ô góc trên bên phải, mỗi bước chỉ đi theo hướng sang phải và lên trên.

Bài 3 (7,0 điểm). Ký hiệu $\{a\}$ là phần lẻ của số thực $a$.
a) Tìm số thực $c>0$ nhỏ nhất sao cho $\{x\}+\{y\}<c+xy$ với mọi số thực $x,y>0$.
b) Xét các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng
$$\{x\}+\{y\}+\{z\}<\frac{5}{2}.$$