Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia Toán 2025-2026 (Ngày Thi 16/9/2025) - Đề Số 1

Câu 1 (7,0 điểm) Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện
$$f(yf(x-y))=f(xf(y))-2025y^2,\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
1) Chứng minh rằng $f(x)$ là đơn ánh và $f(x)$ là hàm số lẻ.
2) Tìm tất cả các hàm số $f$ thoả mãn điều kiện trên.

Câu 2 (7,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân $(AB<AC)$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$. Tam giác $ABC$ có các đường cao $AD,BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Đường tròn tâm $J$ ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$; đường thẳng $AK$ cắt đường thẳng $BC$ tại $L$; đường thẳng $AM$ cắt đường tròn $(J)$ tại điểm thứ hai là $Q$.
1) Chứng minh ba điểm $L,H,Q$ thẳng hàng; các đường thẳng $KF,EQ$ và $BC$ đồng quy hoặc đối một song song.
2) Gọi $P$ là giao điểm của hai đường thẳng $EF$ và $AD$; đoạn thẳng $PM$ cắt đường tròn $(J)$ tại điểm $N$. Chứng minh rằng đường thẳng $LN$ là tiếp tuyến chung của đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNC$.

Câu 3 (6,0 điểm) Cho số nguyên tố $p\ge 5$. Đặt $n=4^p-1$.
1) Chứng minh rằng $n$ có ít nhất 3 ước nguyên tố phân biệt và $2^n\equiv 8(\mathrm{mod}n)$.
2) Với $a$ là một số tự nhiên, chứng minh rằng $2+a+a^2+\dots +a^{p-1}$ không là số chính phương.