Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia Toán 2025-2026 - Ngày Thi 17/9/2025 - Đề Số 2

Câu 4 (6,0 điểm) Cho $P(x),Q(x),R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thỏa mãn
$$P(x^2+x)+(x+1)Q(x^2+x)=(x^2+2x-3)R(x+1)\text{với mọi }x\in \mathbb{R}.$$

1) Chứng minh rằng phương trình $Q(x+1)=R(x-2)$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt.

2) Giả sử rằng tổng bậc của $P(x),Q(x),R(x)$ là 5 và hệ số cao nhất của $R(x)$ là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=P^2(0)+8Q^2(3)$.

Câu 5 (7,0 điểm)

1) Cho hai tập $A$ và $B$, mỗi tập chứa $n$ số tự nhiên liên tiếp. Hỏi ta có thể sắp xếp một hoán vị của $A$ và $B$ như $A_1=(a_1;a_2;\dots ;a_n)$ và $B_1=(b_1;b_2;\dots ;b_n)$ sao cho $C_1=(a_1+b_1;a_2+b_2;\dots ;a_n+b_n)$ là $n$ số tự nhiên liên tiếp được không trong mỗi trường hợp $n=2025$; $n=2026$?

2) Cho tập $A=\{1;2;3;\dots ;2025\}$. Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất $(k>2)$ sao cho ta có thể chọn được $k$ số phân biệt từ tập $A$ mà tổng của hai số phân biệt bất kỳ trong $k$ số được chọn không chia hết cho hiệu của chúng.

Câu 6 (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân $(AB<AC)$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $I$ là trực tâm tam giác $ABC$. Một đường thẳng $d$ đi qua $O$, lần lượt cắt các đoạn thẳng $IB$ và $IC$ tại $E,F$ sao cho $F$ nằm giữa $O$ và $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $COF$ cắt lại đường thẳng $CA$ tại $M$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOE$ cắt lại đường thẳng $BA$ tại $N$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $AON$ cắt lại đường thẳng $AC$ tại $H$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOM$ cắt lại đường thẳng $AB$ tại $K$.

1) Chứng minh đường thẳng $HK$ đi qua $O$.

2) Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $BH,CK,HK$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ đi qua $O$.