Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia Toán 2025-2026 - Ngày Thi 18/9/2025 - Đề Số 1

Câu 1 (7,0 điểm).

a) Cho đa thức $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x-2026$, trong đó $a_1,a_2,\dots ,a_n$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $P(x)$ có duy nhất một nghiệm dương.

b) Chứng minh rằng không tồn tại dãy số nguyên dương $(a_n{)}_{n\ge 1}$ sao cho với mỗi $k$ nguyên dương thì đa thức $P_k(x)=a_k{x}^k+a_{k-1}{x}^{k-1}+\cdots +a_{1}x+1$ có $k$ nghiệm thực phân biệt.

Câu 2 (7,0 điểm).

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố $p$, luôn tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $C_{2n}^n$ chia hết cho $p$.

b) Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $f(n)$ là số nguyên dương lớn nhất sao cho $3^{f(n)}\le C_{6n}^{3n}$. Gọi $D$ là tập các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ mà $f(n)$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $f(n)<f(n+1)$, $\forall n\ge 1$ và $D$ là tập vô hạn.

Câu 3 (6,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với góc $ABC$ tù. Các đường phân giác trong $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $I$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$, cung $CA$ chứa $B$ và cung $AB$ chứa $C$ của $(O)$. Đường thẳng $MI$ cắt $EF$ tại $A_1$ và cắt $(O)$ tại $S$, đường thẳng $B{A}_1$ cắt $(O)$ tại điểm $K$ $(S\ne M;K\ne B)$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $K,E,S$ thẳng hàng.

b) Đường thẳng $IN$ cắt $DF$ tại $B_1$, đường thẳng $IP$ cắt $DE$ tại $C_1$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $D{A}_1,E{B}_1,F{C}_1$ đồng quy.