Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia Toán 2025-2026 - Ngày Thi Thứ Hai - Đề Số 2

Bài 4 (6,0 điểm). Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) $f(f(x)+y)=3x+f(y)$, với mọi $x,y\in \mathbb{R}$;
ii) Với mọi $x\in {\mathbb{R}}^{+}$ tồn tại $y\in {\mathbb{R}}^{+}$ sao cho $f(y)=x$.

Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $A_n=1^n+2^n+3^n+4^n$.
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$, tồn tại vô hạn $n$ để $A_n⋮5^k$.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $A_n$ có tận cùng gồm đúng hai chữ số 0.

Cho hai đường tròn $(\omega )$ và $({\omega }^{\prime })$ có bán kính khác nhau, cắt nhau tại $A$ và $B$. Đường tròn $(A,AB)$ cắt $(\omega )$, $({\omega }^{\prime })$ tại điểm thứ hai lần lượt là $E$, $F$. Tiếp tuyến của $(A,AB)$ tại $B$ cắt $(\omega )$, $({\omega }^{\prime })$ lần lượt tại $M$, $N$ (khác $B$). Giả sử tia $ME$ và tia $NF$ cắt nhau tại $I$, $H$ là trực tâm của tam giác $BEF$.
a) Chứng minh rằng đường thẳng $AH$ đi qua tâm đường tròn $(MNI)$.
b) Tiếp tuyến tại $E$ của $(\omega )$ cắt $(A,AB)$ tại điểm thứ hai là $P$, tiếp tuyến tại $F$ của $({\omega }^{\prime })$ cắt $(A,AB)$ tại điểm thứ hai là $Q$. Gọi $J$ là giao điểm của $EF$ và $PQ$, $K$ là giao điểm của $PE$ và $QF$, $S$ là giao điểm của $IK$ và $MN$. Chứng minh rằng $HS$ vuông góc với $BJ$.