Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Dự Thi HSG Quốc Gia THPT 2025-2026 Sở GD&ĐT Đồng Tháp - Ngày Thi Thứ Nhất 16/9/2025 - Đề Số 1

Câu 1 (7,0 điểm)
Cho dãy số thực ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$ xác định bởi: $a_1=a_2=1,a_3=2$ và
$$a_{n+3}=\frac{a_{n+1}{a}_{n+2}+7}{a_n}\text{ với mọi }n\text{ Nguyeˆn dương. }$$
a) Chứng minh rằng $a_n$ là số nguyên, với mọi $n$ nguyên dương.
b) Tính ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}$.

Câu 2 (7,0 điểm)
Chứng minh rằng mọi số nguyên dương $n$, tồn tại số nguyên dương $m$ có biểu diễn thập phân gồm toàn các chữ số 1 và 0 sao cho $m$ chia hết cho $n$.

Câu 3 (6,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $AC$, $AB$ và $BC$ tương ứng tại $E$, $F$ và $D$. Một đường tròn đi qua $B$ và $C$ tiếp xúc với $(I)$ tại $K$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KEC$ cắt lại $BC$ tại $Q$ khác $C$. Chứng minh:
a) $KD$ là phân giác góc $BKC$.
b) $FQ$ song song $BI$.

————- HẾT ————-