Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG THPT - Vĩnh Long - 2026-2027 - Môn Toán (Buổi thứ hai) - Đề Số 2

a) Cho các số thực không âm $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng $$a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\le 1.$$

b) Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương thỏa mãn $x\left(y^2+z^2\right)=y+z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\frac{1}{(1+x{)}^2}+\frac{1}{(1+y{)}^2}+\frac{1}{(1+z{)}^2}+\frac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}.$$

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1$, $u_2=3$ và công thức truy hồi $$u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n,\forall n\ge 1.$$
Giả sử đa thức $P(x)$ có hệ số thực, bậc $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thỏa mãn $$P(k)=u_k,\forall k\in \{m+2;m+3;\dots ;2m+2\}.$$
a) Chứng minh rằng đa thức $Q(x)=P(x+2)-P(x+1)$ có bậc $m-1$ và thỏa mãn $Q(k)=2^{k+1},\forall k\in \{m+1;m+2;\dots ;2m\}$.

b) Chứng minh rằng $P(2m+3)=u_{2m+3}-2^{m+2}$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ và $A(k)=3^{k}n-1$ là số nguyên tố với mọi $k\in \{1;2;\dots ;n\}$.

Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $P$, $Q$. Đường thẳng qua $P$ cắt $(O_1)$, $(O_2)$ lần lượt tại $A$ và $B$ (không trùng với $Q$). Trên đường tròn $(O_1)$ lấy điểm $F$ thuộc cung $\widehat{PQ}$ không chứa điểm $A$. Kẻ đường thẳng $d$ qua $F$ song song với $AB$, $d$ cắt đường tròn $(O_2)$ tại $C$, $E$ và cắt lại $(O_1)$ tại $D$ ($E$, $F$ nằm trong đoạn $CD$). Gọi $M$ là giao điểm $AD$ và $BE$, $N$ là giao điểm $BC$ và $AF$, $K$ là điểm đối xứng của $P$ qua $CD$.

a) Chứng minh $M$, $K$, $N$ thẳng hàng.

b) Chứng minh $PK$ là đường phân giác của góc $\widehat{MPN}$.