Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Học Sinh Giỏi Quốc Gia Toán 2025-2026 Khu Vực Bắc Quảng Trị - Bài Thi Thứ Nhất - Đề Số 1

Câu 1 (5,0 điểm): Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2026\\ u_{n+1}=\frac{\sqrt{n^2+2n+4}}{n^2+3}{u}_n^2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$ Đặt $v_n=\frac{n^2}{u_n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chứng minh rằng dãy số $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 2 (5,0 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương phân biệt $a$ và $b$ sao cho tồn tại một đa thức hệ số nguyên $P(x)$ thỏa mãn $P(a^3)+7(a+b^2)=P(b^3)+7(b+a^2)$.

Câu 3 (5,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn $\omega$ đi qua $C$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ và cắt $AC$, $BC$, $(O)$ tương ứng tại $P$, $Q$, $K$ ($K$ khác $C$). Gọi $M$, $N$ tương ứng là trung điểm của hai đoạn thẳng $AB$ và $CP$. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng $NQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$.

b) Ba đường thẳng $BC$, $AK$, $MN$ đồng quy.

Câu 4 (5,0 điểm): Cho các số nguyên dương $m$ và $n$. Hãy tìm số cách điền một bảng $m\times n$ gồm $m$ hàng, $n$ cột bằng các số trong tập $\{-2;-1;1;2\}$ (mỗi ô chỉ điền một số) sao cho tích các số trong mỗi hàng và tích các số trong mỗi cột đều bằng $-2$.