Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh THPT Toán 10 Đợt 2 2024-2025

Câu 1 (3,0 điểm). Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}\sqrt{x+2}(x-y+4)=\sqrt{y-1}\\ \frac{5}{\sqrt{y}+3}=y-1-\sqrt{x+3}\end{array}.$$

Câu 2. (3,0 điểm). Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn $P(1)=2025$ và $(x-1{)}^2.P(x)=x(x+1).P(x-1)$, với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Câu 3. (3,0 điểm).

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $2y^2=2+\sqrt{-x^2-2x+24}$.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ và $n$ thỏa mãn $2m+n^2$ chia hết cho $m^2-n$ và $2n+m^2$ chia hết cho $n^2-m$.

Câu 4. (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC(AB<AC)$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$; hai điểm $B,C$ cố định và điểm $A$ thay đổi trên cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, $A^{\prime }$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$, $B^{\prime }$ là điểm đối xứng với $B$ qua $AC$. Hai đường thẳng $AO$ và $B^{\prime }C$ cắt nhau tại $E$; hai đường thẳng $A^{\prime }O$ và $BC$ cắt nhau tại $F$.

a) Chứng minh hai tam giác $AHB$, $ACE$ đồng dạng và bốn điểm $B,O,C,E$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh đường thẳng $AF$ đi qua điểm cố định khi $A$ thay đổi.

Câu 5. (3,0 điểm). Lớp 10A có 32 học sinh, phân công 4 học sinh tham gia mỗi buổi trực nhật. Biết rằng trong một năm học, hai học sinh bất kỳ của lớp 10A trực nhật chung với nhau đúng 3 buổi. Tính số buổi trực nhật của lớp 10A trong năm học đó.

Câu 6. (3,0 điểm). Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}.$$