Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Môn Toán Thành Phố 2024-2025 - Đề Số 1

1. Cho biết chu kỳ bán rã của nguyên tố phóng xạ Poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau mỗi chu kỳ 138 ngày thì khối lượng của mẫu vật Poloni 210 chỉ còn lại một nửa.
a) Tính khối lượng còn lại của 64 gam Poloni 210 sau 552 ngày.
b) Hỏi sau bao nhiêu ngày thì 64 gam Poloni 210 còn lại 1 gam?
2. Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm thành các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài của các thanh ngang để làm cái thang đó (tính từ bậc dưới cùng lên) lần lượt là 49 cm, 47 cm, 45 cm, … , 35 cm, 33 cm (mỗi thanh ngang ngắn hơn 2 cm so với thanh ngang bậc dưới liền kề).
a) Hỏi cái thang đó có bao nhiêu thanh ngang?
b) Hỏi thanh gỗ cần mua có chiều dài ít nhất là bao nhiêu cm? Biết rằng mỗi lần cắt thanh gỗ thì phần gỗ bị cắt (thành mùn cưa) dài 0,5 cm.

Cho hàm số $y=x^3-3x$ có đồ thị $(C)$. Tìm tất cả các điểm $A$ thuộc $(C)$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ cắt trục hoành và $(C)$ lần lượt tại 2 điểm phân biệt $M,N$ ($N\ne A$) thỏa mãn $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

Một công ty thiết kế tròng kính sao cho mỗi phần đường viền của tròng kính là một phần đồ thị của hàm số bậc hai hoặc một phần đồ thị của hàm số bậc bốn rồi ghép chúng lại với nhau như hình vẽ bên dưới (sau đó họ sẽ điều chỉnh theo tỷ lệ phù hợp). Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên dưới, biết rằng $A(-2;0)$, $B(0;-4)$, $C(7;0)$ và $D(1;k)$ với $k>0$.

Cho biết đường cong $(C_1)$ đi qua các điểm $A,D,C$ là một phần của đồ thị hàm số bậc hai nào đó, đường cong $(C_2)$ ứng với đường viền nối $A$ với $B$ là một phần của đồ thị hàm số $y=b{x}^2+c$, còn đường cong $(C_3)$ ứng với đường viền nối $B$ với $C$ là một phần của đồ thị hàm số $y=m{x}^4+n$. Tính $k$ biết diện tích tròng kính đó bằng 33,44 (đơn vị diện tích).