Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT Toán 2024-2025 - Đề Thi Chính Thức - Ngày Thi 25/12/2024 - Đề Số 1

Câu 1 (7,0 điểm)
Xét đa thức $P(x)=x^4-x^3+x$.
a) Chứng minh rằng với mọi số dương $a$, đa thức $P(x)-a$ có duy nhất một nghiệm dương.
b) Xét dãy số $(a_n)$ được xác định bởi $a_1=\frac{1}{3}$ và với mọi $n\ge 1$, $a_{n+1}$ là nghiệm dương của đa thức $P(x)-a_n$. Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 2 (7,0 điểm)
Với mỗi số nguyên $n\ge 0$, đặt $u_n={\left(2+\sqrt{5}\right)}^n+{\left(2-\sqrt{5}\right)}^n$.
a) Chứng minh rằng $u_n$ là số nguyên dương với mọi $n\ge 0$. Khi $n$ thay đổi, số dư của $u_n$ khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu?
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ với $a,b$ nhỏ hơn 500 sao cho với mọi $n$ lẻ ta có $u_n\equiv a^n-b^n(\mathrm{mod}1111)$.

Câu 3 (6,0 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Đường thẳng $AH$ cắt lại $(O)$ tại điểm $D$ khác $A$. Gọi $E$ và $F$ tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng $AB$ và $AC$. Đường thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $HF$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $K$.
a) Đường thẳng $DK$ cắt lại $(O)$ tại điểm $Y$ khác $D$. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng $BY$ và đường trung trực của đoạn thẳng $BK$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $OFY$.
b) Đường thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $HE$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $L$. Đường thẳng $DL$ cắt lại $(O)$ tại điểm $Z$ khác $D$. Gọi $M,N$ và $P$ tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng $(BZ,OE),(CY,OF)$ và $(BY,CZ)$. Gọi $T$ là giao điểm của cặp đường thẳng $(YZ,MN)$ và $d$ là đường thẳng đi qua $T$ và vuông góc với $OA$. Chứng minh rằng $d$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AP$.