Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Thành Phố Toán 12 2024-2025

Cho hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$ có đồ thị như hình vẽ:

Khi đó $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh 3cm, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy, đường thẳng $SD$ tạo với mặt đáy một góc $45^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CD$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBM)$ bằng bao nhiêu centimét?

Bất phương trình ${\log }_4{x}^2+{\log }_2(x+3)\le 1+{\log }_2(2x+3)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x\sqrt{3}-\cos 2x$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{4};0\right]$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=m{x}^2+\left(4-m^2\right)x+n\ln x$ (với $m$, $n$ là các tham số thực). Biết rằng hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm $x=\frac{1}{2}$ và đạt cực tiểu tại điểm $x=1$. Giá trị của $m^2+n^2$ bằng bao nhiêu?

Cho $y=f(x)$ là hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số $g(x)=f\left(f(x)-1\right)-3$ có bao nhiêu điểm cực đại?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $2\sqrt{3}$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Mặt bên $SAB$ là tam giác cân đỉnh $S$, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và $\widehat{ASB}=30^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SD$ và $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AM$, $CD$. Khi đó $\sin \alpha$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-2;3),B(2;1;-4)$. Xét điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $2M{A}^2-3M{B}^2$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng bao nhiêu?

Một xưởng sản xuất vận hành từ 14h00 đến 22h00 mỗi ngày *(không tính các ngày Thứ Bảy, Chủ Nhật và ngày Lễ)*, chia 2 ca làm việc với mức lương tương ứng trả cho công nhân theo bảng sau:



Do yêu cầu sản xuất, bộ phận nhân sự đã sắp xếp công nhân làm việc thỏa mãn tất cả yêu cầu sau:
- Trong khoảng thời gian từ 17h00 đến 19h00: Tổng số công nhân làm việc trong xưởng không được ít hơn 12 người;
- Trong khoảng thời gian từ 19h00 đến 22h00: Tổng số công nhân làm việc trong xưởng không được nhiều hơn 10 người;
- Số công nhân làm Ca II luôn nhiều hơn ít nhất 2 người so với số công nhân làm Ca I.

Hỏi tổng số tiền lương tối thiểu trong một ngày làm việc mà xưởng sản xuất trả cho công nhân là bao nhiêu?

Cho các hàm số $y=a^x$ và $y=b^x$ (với $a,b$ là các số thực dương) có đồ thị là các đường cong $(C_1),(C_2)$ như hình vẽ:



Đường thẳng $y=\frac{2}{3}$ lần lượt cắt $(C_1),(C_2)$ và trục $Oy$ tại $A,B$ và $H$. Biết rằng $HB=3HA$, giá trị của tích $a{b}^3$ bằng bao nhiêu?

Gọi $S$ là tập hợp giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|\frac{2x+m}{x+1}\right|$ trên đoạn $[0;1]$ bằng $\frac{5}{6}$. Tổng tất cả phần tử của $S$ bằng bao nhiêu?

Hàm số $y=(x+1)(x+2{)}^2(x+3{)}^3\dots (x+2025{)}^{2025}$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Cho hàm số $f(x)=\ln \left(e^{\frac{x}{1013}}+e\right)$. Giá trị của biểu thức $S=f^{\prime }(1)+f^{\prime }(2)+\dots +f^{\prime }(2025)$ bằng bao nhiêu?

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$; $AB=4\text{ cm};BC=6\text{ cm}$; đường thẳng $A{A}^{\prime }$ hợp với đáy một góc $60^{\circ }$. Biết rằng tam giác $AB{B}^{\prime }$ là tam giác vuông tại $A$, tam giác $B^{\prime }BC$ là tam giác cân tại $B^{\prime }$. Thể tích của khối tứ diện $AB{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu centimét khối?

Anh An bắt đầu tham gia đầu tư vào chứng khoán của công ty X từ ngày 07/01/2023. Hằng năm, công ty X đều trả cổ tức bằng cổ phiếu, số cổ phiếu được nhận tính theo tỉ lệ trên tổng số cổ phiếu hiện có trong tài khoản của mỗi nhà đầu tư.

Giá trung bình của cổ phiếu và những thông tin liên quan về quá trình đầu tư của mình được anh An thống kê trong bảng sau:



Ngày 08/01/2025, nếu bán toàn bộ số cổ phiếu của công ty X hiện có trong tài khoản của mình với giá bằng giá trung bình của cổ phiếu đó trong ngày 07/01/2025 thì anh An sẽ lãi là bao nhiêu tiền?

Giải thích thuật ngữ:

- Cổ tức là khoản lợi nhuận ròng được trả cho mỗi cổ phần, thường được chi trả bằng cổ phiếu hoặc bằng tiền mặt.

- Giá trung bình của cổ phiếu trong một ngày giao dịch được tính bằng trung bình cộng của giá cao nhất và giá thấp nhất của cổ phiếu trong ngày giao dịch đó.

Câu 16 (2,0 điểm).

Cho hàm số $y=\frac{2x}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm tất cả điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến các đường thẳng ${\Delta }_1:2x+y-5=0$ và ${\Delta }_2:x+2y-4=0$ là nhỏ nhất.

Câu 17 (2,0 điểm).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình chóp cụt đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Biết rằng $A(0;2;3)$, điểm $B$ thuộc trục $Oz$ và điểm $C$ có hoành độ dương. Tìm tọa độ điểm $C^{\prime }$ sao cho $\left|\overrightarrow{C^{\prime }A}+\overrightarrow{C^{\prime }B}+2\overrightarrow{C^{\prime }C}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 18 (3,0 điểm).

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{A^{\prime }AB}$ là góc nhọn và thỏa mãn các điều kiện $\cos \left[A^{\prime },AB,C\right]=-\frac{1}{3}$; $\widehat{A^{\prime }AD}=90^{\circ }$; $\widehat{BAD}=60^{\circ }$; $A{A}^{\prime }=2\text{ m};AB=AD=1\text{ m}$.

a) Tính cosin của góc nhị diện $\left[B^{\prime },A{A}^{\prime },D\right]$.

b) Một chất điểm xuất phát từ $A$ chuyển động thẳng đều trên đoạn thẳng $AB$ với vận tốc 1 m/s, đồng thời một chất điểm khác xuất phát từ $D^{\prime }$ chuyển động thẳng đều trên đoạn thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ với vận tốc 2 m/s. Hỏi sau bao lâu khoảng cách giữa hai chất điểm ngắn nhất.

Câu 19 (2,0 điểm).

Từ một sợi dây thép thẳng dài 4 m, người ta cắt thành các đoạn thép nhỏ dài 2 cm và 5 cm. Sau đó ghép thành những hình hộp chữ nhật có cạnh dài 2 cm hoặc 5 cm. Mỗi hình hộp chữ nhật thành phẩm sẽ được bán làm đồ trang trí.

Có bốn loại hình hộp chữ nhật được tạo ra với thông tin được cho như bảng sau:



Xét tất cả phương án cắt sợi dây thép dài 4 m thành các đoạn 2 cm và 5 cm, sau đó ghép thành các hình hộp chữ nhật kể trên. Tính tổng số tiền lớn nhất thu được khi bán hết các hình hộp chữ nhật thành phẩm.

Câu 20 (2,0 điểm).

Xét các số thực $a,b$ với $b>0$ thỏa mãn hệ thức $e^{a+b}-e^a+2a=1+2\ln \left(e^a+2b+1\right)$. Chứng minh:

$$a+2b-\ln b>\frac{1}{2b+1}+3\ln 2.$$