Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi THPT Môn Toán Tây Ninh 2025-2026 - Ngày Thi Thứ Hai - Đề Số 2

(5,0 điểm) Cho đa thức $P(x)=(2-x)(1+x{)}^6$. Đạo hàm của $P(x)$ được viết lại dưới dạng:
$$P^{\prime }(x)=a_6{x}^6+a_5{x}^5+...+a_{1}x+a_0.$$
Tính $a_3$.

(5,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=0,u_2=38,u_3=-90\\ u_{n+1}=19u_{n-1}-30u_{n-2};n=3,4,...\end{array}$$
Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số trên và tìm tất cả số hạng của dãy là số chính phương.

(6,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB<AC$ và góc $\alpha$ với $0^0<\alpha <90^0$. Dựng các tam giác $ABD$, $ACE$ về phía ngoài tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0$ và $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=\alpha$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Chứng minh khi $\alpha$ thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác $EDM$ luôn đi qua một điểm cố định khác $M$.

(4,0 điểm) Chứng minh từ 2026 điểm phân biệt trong một mặt phẳng, có thể dựng được 1013 đoạn thẳng nối hai điểm đối một với nhau mà trong các đoạn thẳng đã dựng, không có 2 đoạn thẳng nào có điểm chung.