Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Tỉnh Lớp 12 Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Nghệ An - Bảng A (Phần Tự Luận) - Đề Số 3

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=\frac{e^x}{\sqrt{x^2-1}}$. (2,0 điểm)

Một công ty chuyển phát nhanh cần vận chuyển một lô hàng trên quãng đường dài 200 km bằng một xe tải. Xe chạy với vận tốc không đổi $v$ km/h. Mức tiêu thụ dầu của xe tải được mô hình hóa bởi công thức $C(v)=\frac{5}{v}+\frac{v}{512}$ (lit/km). Chi phí trả cho tài xế là 150 nghìn đồng/giờ. Giá dầu là 20 nghìn đồng/lit. Hỏi xe nên chạy với vận tốc bằng bao nhiêu để tổng chi phí cho chuyến đi (bao gồm tiền dầu và chi phí cho tài xế) là thấp nhất? (2,0 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang cân, $AB=BC=CD=2$, $AD=4$. Cạnh bên $SA=2\sqrt{6}$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$, $CD$ và cosin góc phẳng nhị diện $[B;SC;D]$. (2,5 điểm)

Gọi $I$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Lấy điểm $M$ cùng phía với $S$ so với mặt phẳng $(ABCD)$ sao cho tam giác $MID$ cân tại $M$. Biết $MI=8$, góc giữa đường thẳng $MI$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{\circ }$. Tính thể tích tứ diện $SIMD$. (1,0 điểm)

Một doanh nghiệp cần xây dựng phương án phân bổ 100 thiết bị cứu hoá lắp đặt cho hai nhà máy A và B. Giả định rằng khi cả hai nhà máy cùng xảy ra hoả hoạn, tổng thiệt hại (tính bằng tiền, đơn vị tỉ đồng) sau khoảng thời gian $t$ giờ đám cháy xảy ra ở hai địa điểm lần lượt được mô hình hoá bởi công thức: ở nhà máy A là $D_A(t)=2t^3$, ở nhà máy B là $D_B(t)=3t^4$. Giả sử rằng thời gian để dập tắt đám cháy ở mỗi nhà máy tỉ lệ nghịch với số thiết bị cứu hoá được lắp đặt. Trong trường hợp lắp đặt mỗi nhà máy 50 thiết bị cứu hoá thì thời gian dập tắt là 2 giờ ở mỗi nhà máy. Hỏi tổng thiệt hại ở cả hai nhà máy nhỏ nhất là bao nhiêu tỉ đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). (1,5 điểm)

Một cuộc khảo sát xã hội học được tiến hành trên một nhóm gồm 70 người. Những người tham gia được phân loại vào 3 nhóm dựa trên mức chi tiêu hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) như bảng sau:

Biết rằng, ba số $n_1,n_2,n_3$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tứ phân vị thứ nhất của toàn bộ dữ liệu 70 người là $Q_1=23,75$ (triệu đồng). Từ 70 người đã được khảo sát, chọn ngẫu nhiên một mẫu gồm 7 người. Hãy tính xác suất để mức chi tiêu trung bình của 7 người được chọn (tính theo mức chi tiêu đại diện) đúng bằng mức chi tiêu trung bình của 70 người ban đầu. (1,5 điểm)

An sử dụng 12 thanh sắt gắn thành một hình hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh lần lượt là 20cm, 30cm, 60cm. Vào lúc ánh nắng mặt trời vuông góc với mặt sàn, An để hình hộp đó trong không trung. Các cạnh hình hộp được in bóng là các đoạn thẳng trên mặt sàn. Giả sử rằng các tia nắng song song với nhau và mặt sàn phẳng. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài bóng tất cả các cạnh hình hộp chữ nhật. (1,5 điểm)