Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Toán 10 THPT Phan Huy Chú - Quốc Oai, Hà Nội 2024-2025

Câu 1. (4,0 điểm)
a. Cho hai tập hợp $A=(-5;3)$ và $B=[2;+\infty )$. Tìm $A\cap B$.
b. Cho hai tập hợp $A=\left[7;m^2-m\right],B=(9;12]$ với $A$ là tập hợp khác rỗng. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc $[0;2024]$ để $B\subset A$.

Câu 2. (4,0 điểm)
a. Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$.
b. Tìm tất cả các tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm thực
$$\sqrt{4-x}+\sqrt{x}=\sqrt{3m+4x-x^2}$$

Câu 3. (3,0 điểm)
Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất.

Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $AB.AC=12$ và $\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\sin A$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Tìm diện tích tam giác $BMG$.

Câu 5. (4,0 điểm)
a. Cho hình bình hành $ABCD$. Trên đường chéo $BD$ lấy các điểm $G$ và $H$ sao cho $DG=GH=HB$. Gọi $M$ là giao điểm của $AH$ và $BC$ ; $N$ là giao điểm của $AG$ và $DC$. Chứng minh: $2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AC}$
b. Cho tứ giác lồi $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $O$. Gọi điểm $H$, $K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $ABO$ và $CDO$. Gọi điểm $I,J$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AD$ và $BC$. Chứng minh rằng $HK\perp JI$.

Câu 6. (2,0 điểm)
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=9$ và $x+y-z=3$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x+z-1}{y+4}$.