Kỳ Thi Chọn HSG Cấp Trường Toán 2025-2026 THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng

Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số $(x_n)$ như sau: $x_1=2025$ và
$$x_{n+1}=\frac{\sqrt{n^2+1}{x}_n^2}{1+\sqrt{n^2+2n+2}{x}_n},\forall n=1,2,\dots$$
Tính giới hạn ${\lim }_{n\to +\infty }\left(\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\cdots +\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)$.

Câu 2 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ thỏa mãn
$$f(xy+f(x))+f(y)=xf(y)+f(x+y),\forall x,y\in \mathbf{R}.$$

Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ có đường cao $AD$ và trực tâm $H$. Gọi $J,K$ lần lượt là trung điểm của $BC,HD$. Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ lên $AB,AC$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Chứng minh rằng $GK\perp AJ$.

Câu 4 (4 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(n,p)$ trong đó $p$ là số nguyên tố, sao cho
$$2+n+n^2+\cdots +n^{p-1}$$
là số chính phương.

Câu 5 (4 điểm). Hỏi có bao nhiêu hoán vị $a_1,a_2,\dots ,a_{2026}$ của 2026 số nguyên dương đầu tiên thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) $a_{i+1}-a_i\le 1$ với mọi $i=1,2,3,\dots ,2025$.

b) Có đúng hai chỉ số $i,j$ với $1\le i<j\le 2026$ sao cho $a_i=i,a_j=j$.