Kỳ Thi Chọn HSG Lớp 11 Môn Toán 2024-2025 - Bài Thi Thứ Hai - Đề Số 2

Câu 1 (2,0 điểm):
a) Tìm tất cả các bộ ba số thực $x$, $y$, $z$ thỏa mãn $2025^{x^2-3y+z}+2025^{y^2-3z+x}+2025^{z^2-3x+y}=\frac{3}{2025}$.
b) Cho đa thức bậc hai $f(x)=x^2+bx+c$ với $b$, $c$ là hai số nguyên. Chứng minh luôn tồn tại số nguyên $a$ thỏa mãn $f(a)=f(2024).f(2025)$.

Câu 2 (2,0 điểm): Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=5$ và $u_{n+1}=u_n^{2025}-3u_n^{2024}+u_n$, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Chứng minh $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.
b) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $v_n=\frac{1}{\left(u_1^{2024}+1\right)\left(u_2^{2024}+1\right)\dots \left(u_n^{2024}+1\right)}$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n$.

Câu 3 (3,5 điểm): Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường cao $BE$, $CF$ $(E\in AC,F\in AB)$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $BC$, $CA$, $AB$, $AH$. Tia $MH$ cắt $(O)$ tại $L$.
a) Chứng minh $AL$, $BC$, $EF$ đồng quy tại một điểm $T$.
b) Gọi $K$ là giao điểm của $NP$ và $EF$. Chứng minh $AK$ vuông góc với $OH$.
c) Đường thẳng đi qua $A$ song song với $BC$ cắt $OQ$ tại $D$. Chứng minh giao điểm (khác $M$) của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $MNP$ và $MLT$ nằm trên đường thẳng $DM$.

Câu 4 (1,5 điểm): Cho $n$-giác đều $A_1{A}_2...A_n$ $(n\in \mathbb{N},n\ge 3)$. Mỗi một đỉnh của $n$-giác đều $A_1{A}_2...A_n$ được tô bởi một màu trong $m$ màu cho trước $(m\in \mathbb{N},m\ge 3)$ sao cho hai đỉnh kề nhau được tô bởi hai màu khác nhau. Tìm số cách tô màu có thể thực hiện được trong các trường hợp sau:

a) Khi $n=4$, $m=5$.

b) Khi $n=2024$, $m=2025$.

Câu 5 (1,0 điểm): Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m;n)$ thỏa mãn $m^2-2$ chia hết cho $m.n+2$.