Kỳ Thi Chọn HSG Thành Phố Lớp 12 THPT 2025-2026 - Đề Số 2

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(f(x)+f(y))+xf(y)=yf(x)+f(2x)+2$$
với mọi số thực $x$ và $y$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ có đường cao $AD$. Trên đoạn thẳng $AD$ lấy điểm $K$ $(K$ khác $A$ và $D)$, trên đoạn thẳng $DC$ lấy điểm $M$ $(M$ khác $D$ và $C)$. Tia $BK$ cắt đoạn thẳng $AC$ tại điểm $E$ và tia $CK$ cắt đoạn thẳng $AB$ tại điểm $F$. Đường thẳng $EF$ cắt các đường thẳng $AM,MK$ và $AD$ lần lượt tại các điểm $G,I$ và $H$. Đường trung trực của đoạn thẳng $HD$ cắt đường thẳng $EF$ tại điểm $T$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $AEF$, $AIG$ và $THD$ cùng đi qua một điểm.

Xét một đa thức $f(x)$ với hệ số hữu tỉ có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 thỏa mãn: với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại số hữu tỉ $r_n$ khác $n$ sao cho $f(r_n)=f(n)$.

a) Chứng minh bậc của $f(x)$ là số nguyên dương chẵn và tồn tại hằng số $c$ sao cho $|r_n|\le c.n$ với mọi số nguyên dương $n$.

b) Chứng minh tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $f(x)=f(q-x)$ với mọi số hữu tỉ $x$.

Với mỗi số nguyên dương $x$, ký hiệu $v_2(x)$ là số nguyên không âm $y$ lớn nhất sao cho $x$ chia hết cho $2^y$.

Cho 100 số nguyên dương đôi một khác nhau $a_1,a_2,\dots ,a_{100}$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả số nguyên không âm $m$ sao cho tồn tại $i\in \{1;2;\dots ;100\}$ để $m=v_2(a_i)$.

Chứng minh rằng $S=\{0;1;2;\dots ;99\}$ khi và chỉ khi với mỗi số nguyên $k$, tồn tại các số $b_1,b_2,\dots ,b_{100}$ thuộc tập hợp $\{0;1\}$ sao cho
$$k\equiv b_1{a}_1+b_2{a}_2+\cdots +b_{100}{a}_{100}(\mathrm{mod}{2}^{100}).$$