Kỳ Thi Chọn HSG Thành Phố Toán 12 2025-2026 - Bảng A

Một chất điểm chuyển động trên trục $Ox$ có phương trình chuyển động là $x=2\cos (2\pi t)-1$ (đơn vị: centimet), với $t\ge 0$ (đơn vị: giây). Trong 5 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đi qua gốc tọa độ $O$ bao nhiêu lần?

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong như hình bên. Hàm số $g(x)=f\left(x^3+1\right)$ đạt cực đại tại điểm $x_0$. Giá trị của $x_0$ bằng bao nhiêu?

Với $x_1$ và $x_2$ là các nghiệm của phương trình $3^{x-1}=5^{x^2-1}$. Giá trị của biểu thức $S=x_1+x_2$ bằng bao nhiêu?

Cho đa giác lồi có 10 đỉnh $A_1,A_2,\dots ,A_{10}$. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho, trong đó không có hai đỉnh nào của tam giác là hai đỉnh kề nhau của đa giác?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong $(C)$ như hình bên. Biết rằng đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $A(2;-1)$. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f^2(1-x)$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ có hệ số góc bằng bao nhiêu?

Hình chữ nhật $ABCD$ được trang trí bởi một hình elip, các hình vuông cạnh 1 và các hình tròn đường kính 1 như hình vẽ. Diện tích của hình chữ nhật $ABCD$ bằng bao nhiêu?

Một công ty tham gia đấu thầu ba dự án $A$, $B$, $C$ độc lập với nhau. Xác suất trúng thầu các dự án $A$, $B$, $C$ lần lượt là $0,5$; $0,6$ và $x$. Biết rằng xác suất để công ty trúng thầu ít nhất một dự án là $0,94$. Xác suất để công ty trúng thầu cả ba dự án bằng bao nhiêu?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét A và B là hai điểm lần lượt nằm trên đồ thị hàm số $y={\log }_{3}x$ và $y={\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}x$ sao cho điểm $C(3;0)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB (như hình bên). Diện tích tam giác OAB bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng 56 và đáy ABCD là hình bình hành. Gọi $A_1,B_1,C_1,D_1$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên $SA,SB,SC,SD$ và $S_1$ là tâm của đáy ABCD, ta được hình chóp $S_1.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ (như hình bên) có thể tích $V_1$. Gọi $A_2,B_2,C_2,D_2$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên $S_1{A}_1,S_1{B}_1,S_1{C}_1,S_1{D}_1$ và $S_2$ là tâm của đáy $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, ta được hình chóp $S_2.A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ có thể tích $V_2$. Cứ tiếp tục như vậy ta được các hình chóp $S_3.A_3{B}_3{C}_3{D}_3,S_4.A_4{B}_4{C}_4{D}_4,\dots ,S_n.A_n{B}_n{C}_n{D}_n$ có thể tích lần lượt là $V_3,V_4,\dots ,V_n$. Giá trị của ${\lim }_{n\to +\infty }\left(V_1+V_2+\dots +V_n\right)$ bằng bao nhiêu?

Số lượng tế bào của một quần thể nấm men được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm tại thời điểm t được mô hình hóa bằng công thức $f(t)=\frac{24}{1+3e^{-0,5t}}$ (đơn vị: nghìn tế bào), với $t\ge 0$ (đơn vị: giờ). Biết rằng hàm số $y=f^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ sinh trưởng của quần thể tại thời điểm t. Tại thời điểm tốc độ sinh trưởng của quần thể lớn nhất, quần thể có bao nhiêu nghìn tế bào?

Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1 (như hình bên). Biết rằng $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C$ và số đo góc giữa đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{\circ }$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?

Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất theo thứ tự ba lần liên tiếp. Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc trong ba lần gieo bằng 9”. Xác suất của biến cố A bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2 và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Biết rằng cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $SA=2$ và G là trọng tâm tam giác SAB. Xét M là một điểm di động trên đường thẳng BD (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và GM bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\widehat{ABC}=30^{\circ }$; $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^{\circ }$, $SA=2\sqrt{7}$ và $BC=4$. Gọi $\alpha$ là số đo của góc nhị diện $\left[S,BC,A\right]$, giá trị của $\tan \alpha$ bằng bao nhiêu?

Anh Bình đầu tư một khoản vốn vào ba loại trái phiếu với lãi suất như sau:



Sau khi tìm hiểu về thuế và mức độ rủi ro của từng loại trái phiếu, anh Bình đã đưa ra phương án phân bổ vốn đầu tư vào ba loại trái phiếu A, B, C thỏa mãn tất cả tiêu chí sau:
- Số vốn đầu tư cho trái phiếu A lớn hơn hoặc bằng hai lần số vốn đầu tư cho trái phiếu B.
- Số vốn đầu tư cho trái phiếu C không vượt quá 25\% tổng số vốn đầu tư.

Sau một năm, với phương án phân bổ vốn đầu tư như trên thì tỉ suất lợi nhuận lớn nhất của anh Bình là bao nhiêu phần trăm?

Trong đó: Tỉ suất lợi nhuận là tỉ lệ phần trăm giữa số tiền lãi thu được và số tiền vốn đã bỏ ra đầu tư trong một đơn vị thời gian, thường được tính theo đơn vị là một năm.

(2,0 điểm) Cho điểm $M(-1;2)$ và hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm tọa độ các điểm $A$, $B$ thuộc đồ thị $(C)$ sao cho các tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau, đồng thời tam giác $MAB$ là tam giác cân tại $M$. Biết rằng điểm $A$ có hoành độ lớn hơn 1.

(2,0 điểm) Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 2, mặt bên $B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C$ là hình chữ nhật và cạnh bên $A{A}^{\prime }=2\sqrt{3}$. Biết rằng tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có diện tích bằng 3.

a) Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

b) Xét $O$ là điểm bất kì nằm trong hình bình hành $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $a$, $b$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $O$ đến các mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C),(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$. Chứng minh $4a+b\sqrt{13}=6$.

(1,5 điểm) Một hồ nước có dạng nửa hình tròn đường kính $AB$ bằng 300 mét. Người ta dự định thiết kế một đường đi từ vị trí $A$ qua vị trí $M$ và đến vị trí $B$ gồm hai phần (như hình minh họa):

Phần I: Cầu gỗ nối thẳng từ vị trí $A$ đến vị trí $M$.

Phần II: Lối đi ven bờ hồ theo cung tròn từ vị trí $M$ đến vị trí $B$.

Một nhà thầu đưa ra báo giá xây dựng như bảng sau:





Nhà thầu đã nhận thi công trọn gói công trình này với giá 900 triệu đồng. Với báo giá như trên, lợi nhuận tối thiểu mà nhà thầu có thể nhận được khi thực hiện công trình này là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, biết rằng $\sqrt{3}\approx 1,73$ và $\pi \approx 3,14$)?

(1,5 điểm) Cho hàm số $y=\frac{3x+3}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $S$ là tập hợp các đường thẳng có điểm chung với đồ thị $(C)$ sao cho tất cả điểm chung của mỗi đường thẳng đó với đồ thị $(C)$ đều có tọa độ là các số nguyên. Tìm số phần tử của tập hợp $S$.

(1,0 điểm) Cho hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$, cạnh $AB=8$ và $AD=6$. Xét điểm $M$ di động trên đường tròn tâm $O$ bán kính bằng 2 (như hình vẽ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2MA+5MC$.