Kỳ Thi Lập Đội Tuyển Dự Thi Chọn Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT Toán 2025-2026 - Ngày Thi 17/9/2025 - Đề Số 1

Câu 1. (5,00 điểm) Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng
$$\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+8zx}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+8xy}}\ge 1.$$

Câu 2. (5,00 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ thỏa mãn: Với mỗi số nguyên dương $m$, nếu $d_1<d_2<\dots <d_n$ là toàn bộ các ước dương của $m$ thì
$$f(d_1)f(d_2)\cdots f(d_n)=m.$$

Câu 3. (5,00 điểm) Cho các số nguyên $a$, $b$, $c$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=p$. Chứng minh rằng $abc$ là lũy thừa bậc 3 của một số nguyên.

Câu 4. (5,00 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường cao kẻ từ $B$, $C$ cắt $(O)$ lần lượt tại $E$, $F$ và cắt nhau tại $H$. Gọi $(C_1)$ là đường tròn qua $E$, $H$ và tiếp xúc $CH$ tại $H$; $(C_2)$ là đường tròn qua $F$, $H$ và tiếp xúc $BH$ tại $H$. Gọi $G$ là giao điểm của $(C_1)$ và $(C_2)$ khác điểm $H$.

a) Chứng minh rằng: $AG\perp GH$.

b) Chứng minh rằng: Điểm $G$ nằm trên đường tròn $(O)$.