Kỳ Thi Lập Đội Tuyển Dự Thi Chọn Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT Toán 2025-2026 - Ngày Thi 18/9/2025 - Đề Số 2

Câu 1. (5,00 điểm) Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_n=\frac{x_1+2^2{x}_2+3^2{x}_3\dots +(n-1{)}^2{x}_{n-1}}{n^2\left(n^2-1\right)},\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.\end{array}$$
Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ với $u_n=(n+1{)}^4{x}_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Câu 2. (5,00 điểm) Cho đa thức $P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$, trong đó $a$, $b$, $c$ là các số nguyên thuộc tập $S=[-6;6]$. Biết rằng $\left|P\left(3+\sqrt{3}\right)\right|<\frac{1}{300}$. Chứng minh $P(x)$ có ba nghiệm thực phân biệt.

Câu 3. (5,00 điểm) Gọi $X$ là tập hợp các số nguyên dương không vượt quá 2025. Xét tất cả các tập hợp $A$ là tập con của $X$ thỏa mãn “Nếu $x$, $y$ là hai phần tử bất kỳ của $A$ thì $|x-y|\notin \{20;30\}$”. Hỏi số phần tử nhiều nhất trong những tập hợp $A$ đó là bao nhiêu?

Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân. Đường tròn $(I)$ bàng tiếp góc $A$ tiếp xúc với các đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Đường thẳng đi qua trung điểm $M$ của đoạn thẳng $BC$ song song với $AC$ cắt đường thẳng $IC$ tại $J$.

a) Chứng minh ba điểm $E$, $J$, $F$ thẳng hàng.

b) Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $AD$ và đường tròn $(I)$ khác $D$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $(BDP)$ cắt đường thẳng $DE$ tại $Q$ khác $D$. Chứng minh tam giác $MQI$ vuông.