Kỳ Thi Olympic Truyền Thống 30 Tháng 4 Lần Thứ Xxix Toán 10 2025

Cho các số thực $a_1,a_2,...,a_{30},b_1,b_2,...,b_{30}$ thỏa mãn $a_i\ne 0$ với mọi $i=1,...,30$. Hỏi phương trình:
$$\max \{a_{1}x+b_1,a_{2}x+b_2,...,a_{30}x+b_{30}\}=4$$
có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $|x|\le 3,|y|\le 3$. Chứng minh rằng:
$$0\le \left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+4(x-1)(y-1)\le 164$$

Các số thực dương $a_1,a_2,...,a_{100}$ được viết trên một vòng tròn theo thứ tự đó. Biết rằng mỗi số lớn hơn tích của hai số liền trước nó: với mọi $1\le i\le 100$ thì $a_i{a}_{i+1}<a_{i+2}$ (ta quy ước $a_{101}=a_1,a_{102}=a_2$). Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên dương trong các số $a_1,a_2,...,a_{100}$?

Cho các số nguyên dương $a,b$ với $a>b$. Biết rằng $a^3-b^3$ là một ước của $ab(a^2-b^2)$. Chứng minh rằng $(a-b{)}^3>3ab$.

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $P$, các đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $Q$. Gọi $M$ và $N$ tương ứng là trung điểm của $AD$ và $BC$. Ký hiệu $(L)$ và $(K)$ tương ứng là đường tròn ngoại tiếp tam giác $QAD$ và tam giác $QBC$. Đường thẳng $MQ$ cắt lại $(K)$ tại điểm $E$ (khác $Q$), đường thẳng $NQ$ cắt lại $(L)$ tại điểm $F$ (khác $Q$).
a. Chứng minh rằng các điểm $P,O,E,F,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.
b. Đường thẳng đi qua $L$ và vuông góc với $QF$ cắt đường thẳng đi qua $K$ và vuông góc với $QE$ tại điểm $T$. Chứng minh rằng các điểm $T,P$ và $O$ thẳng hàng.