(0,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang ($AB\parallel CD$, $AB=2CD$). Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$. Mặt phẳng $(AMN)$ cắt $SD$ tại $P$, tính tỷ số $\frac{SP}{SD}$?

Trong tam giác $SBC$, hai điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB,SC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$.

Mặt phẳng $(AMN)$ chứa đường thẳng $MN\parallel BC$ và cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại điểm chung $A$, do đó giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $Ax$ đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $BC$.

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $Q=Ax\cap CD$.

Tứ giác $ABCQ$ có $AB\parallel CQ$ và $AQ\parallel BC$ nên là hình bình hành, suy ra $CQ=AB$.

Vì $AB=2CD$ và điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $CQ$ nên điểm $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $QC$.

Trong mặt phẳng $(SCD)$, giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $QN$.

Gọi $P=QN\cap SD$, khi đó điểm $P$ chính là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $(AMN)$.

Xét tam giác $SQC$:

Đoạn thẳng $QN$ là đường trung tuyến do điểm $N$ là trung điểm của cạnh $SC$.

Đoạn thẳng $SD$ là đường trung tuyến do điểm $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $QC$.

Vì $P=QN\cap SD$ nên điểm $P$ là trọng tâm của tam giác $SQC$.

Theo tính chất trọng tâm tam giác, ta có:

$$\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}$$