(0,5 điểm) Một người đứng ở giữa một tấm ván gỗ đặt trên một giàn giáo để sơn tường nhà. Biết rằng giàn giáo dài 16m và độ võng tại tâm của ván gỗ là 3cm. Cho biết đường cong của ván gỗ có hình parabol.



a. Giả sử tâm ván gỗ trùng với đỉnh của parabol, tìm phương trình chính tắc của parabol.
b. Điểm có độ võng $1\text{cm}$ cách tâm ván gỗ bao xa?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: gốc $O$ tại tâm ván gỗ (đỉnh parabol), trục $Ox$ nằm ngang dọc theo giàn giáo, trục $Oy$ hướng lên. Vì ván võng xuống nên parabol có dạng $x^2=-2py$ với $p>0$.

a. Giàn giáo dài 16 m nên hai đầu ván cách tâm $8\text{m}$. Độ võng tại tâm là $3\text{cm}=0,03\text{m}$, tức hai đầu ván có tung độ $y=-0,03$. Thay điểm $(8;-0,03)$ vào $x^2=-2py$: $64=-2p(-0,03)\Rightarrow 2p=\frac{64}{0,03}=\frac{6400}{3}$.
Vậy phương trình chính tắc: $x^2=-\frac{6400}{3}y$ (tức $y=-\frac{3}{6400}{x}^2$).

b. Điểm có độ võng $1\text{cm}$ có $y=-0,01\text{m}$. Khi đó $x^2=\frac{6400}{3}\cdot 0,01=\frac{64}{3}\Rightarrow x=\frac{8}{\sqrt{3}}\approx 4,62\text{m}$.
Vậy điểm có độ võng 1 cm cách tâm ván gỗ khoảng $4,62$ m (chính xác $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ m).