(1,0 điểm) Một kĩ sư thiết kế đoạn đường ray tàu lượn như hình vẽ gồm: phần thứ nhất là một phần của parabol $(P_1)$ có đỉnh $D$ cách mặt đất $5,8$ m, phần thứ hai là một phần của parabol $(P_2)$ có đỉnh $H$. Hai parabol này nối tiếp với nhau trơn tru tại điểm $F$. Khoảng cách từ $K$ đến mặt đất bằng bao nhiêu mét?

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với mặt đất là trục Ox, gốc tại $A$: theo hình vẽ ta có $A(0;0)$, $C(3;0)$, $E(7;0)$, $G(9;0)$, $I(11;0)$; $B(0;4)$, $D(3;5,8)$.

Parabol $(P_1)$ có đỉnh $D(3;5,8)$ nên có dạng $y=a(x-3{)}^2+5,8$. Vì $(P_1)$ đi qua $B(0;4)$: $9a+5,8=4\Rightarrow a=-0,2$. Vậy $y=-0,2(x-3{)}^2+5,8$, suy ra $y^{\prime }=-0,4(x-3)$.

Tại $E(7;0)$: $y_F=-0,2\cdot 16+5,8=2,6$, tức $F(7;2,6)$; hệ số góc tiếp tuyến tại $F$: $y^{\prime }(7)=-1,6$.

Parabol $(P_2)$ có đỉnh $H(9;h)$ nên có dạng $y=b(x-9{)}^2+h$, $y^{\prime }=2b(x-9)$. Nối trơn tru tại $F$ nghĩa là $(P_2)$ đi qua $F$ và có cùng tiếp tuyến tại $F$: $2b(7-9)=-1,6\Rightarrow b=0,4$; và $0,4\cdot 4+h=2,6\Rightarrow h=1$.

Điểm $K$ có hoành độ $x=11$ (trên $(P_2)$): $y_K=0,4(11-9{)}^2+1=0,4\cdot 4+1=2,6$.

Vậy khoảng cách từ $K$ đến mặt đất bằng $2,6$ m.