Bất phương trình $\left(\sqrt{25^x-4x\cdot 5^{x+1}+100x^2+2}+5^x-10x\right)\left(\sqrt{4^x+2}-2^x\right)\le 2$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Đặt $u=5^x-10x$ và $v=2^x$. Nhân lượng liên hợp $\sqrt{v^2+2}+v>0$, bất phương trình tương đương $\sqrt{u^2+2}+u\le \sqrt{v^2+2}+v$. Vì hàm $k(t)=\sqrt{t^2+2}+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $u\le v\iff 5^x-10x\le 2^x$. Thử trực tiếp và đánh giá với $x\in \mathbb{Z}$ ta được hai nghiệm nguyên là $x=0$ và $x=1$.