Biết rằng ${\log }_{2}x;(1+{\log }_{4}x);{\log }_{8}4x$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội khác 0, tìm mệnh đề đúng.

Điều kiện $x>0$. Đặt $t={\log }_{2}x$. Khi đó ba số hạng là $t$, $1+\frac{t}{2}$, $\frac{2+t}{3}$. Ba số này lập thành cấp số nhân nên ${\left(1+\frac{t}{2}\right)}^2=t\cdot \frac{2+t}{3}⟺1+t+\frac{t^2}{4}=\frac{2t+t^2}{3}⟺12+12t+3t^2=8t+4t^2⟺t^2-4t-12=0⟺t=6$ hoặc $t=-2$. Với $t=6⟹{\log }_{2}x=6⟹x=2^6=64\in (30;+\infty )$. (Trường hợp $t=-2$ công bội $q=0$ loại vì giả thiết công bội khác 0).