Biết rằng rút gọn biểu thức $\frac{{\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1}{{\sin }^2\alpha }=2m.{\tan }^2\alpha$. Hãy cho biết giá trị của $m$? ĐS: 0,5

(AI giải đề cho tôi)
Ta có: ${\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1={\tan }^2\alpha -(1-{\cos }^2\alpha )={\tan }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$.

Mặt khác ${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$, nên:
$${\tan }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ={\sin }^2\alpha \left(\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1\right)={\sin }^2\alpha \cdot {\tan }^2\alpha .$$

Do đó:
$$\frac{{\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha \cdot {\tan }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }={\tan }^2\alpha .$$

So sánh với $2m{\tan }^2\alpha$ ta được $2m=1\Rightarrow m=0,5$. Kết quả trùng với đáp số đã cho (0,5).